Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13876 / 10704
↖ ↑ ↗
← N 52.802761°
W 27.553711°		 ← 738.56 m → N 52.802761°
W 27.542725°		 →
↑
738.59 m
↓
↑
738.59 m
↓
N 52.796119°
W 27.553711°		 ← 738.67 m →
545 531 m²		 N 52.796119°
W 27.542725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423477172851562 y=0.326675415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423477172851562 × 215)
    floor (0.423477172851562 × 32768)
    floor (13876.5)     		tx = 13876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326675415039062 × 215)
    floor (0.326675415039062 × 32768)
    floor (10704.5)     		ty = 10704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13876 / 10704 ti = "15/13876/10704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13876/10704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13876 ÷ 215
    13876 ÷ 32768     		x = 0.4234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10704 ÷ 215
    10704 ÷ 32768     		y = 0.32666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32666015625 × 2 - 1) × π
    0.3466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08912635936768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48090298} λ = -0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08912635936768))-π/2
    2×atan(2.97167676060544)-π/2
    2×1.24618918381009-π/2
    2.49237836762017-1.57079632675     		φ = 0.92158204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92158204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.802761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13876 KachelY 10704 -0.48090298 0.92158204 -27.553711 52.802761
    Oben rechts KachelX + 1 13877 KachelY 10704 -0.48071123 0.92158204 -27.542725 52.802761
    Unten links KachelX 13876 KachelY + 1 10705 -0.48090298 0.92146611 -27.553711 52.796119
    Unten rechts KachelX + 1 13877 KachelY + 1 10705 -0.48071123 0.92146611 -27.542725 52.796119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92158204-0.92146611) × R
    0.000115929999999986 × 6371000     		dl = 738.590029999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92158204-0.92146611) × R
    0.000115929999999986 × 6371000     		dr = 738.590029999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48090298--0.48071123) × cos(0.92158204) × R
    0.000191749999999991 × 0.604560725443044 × 6371000     		do = 738.55511120966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48090298--0.48071123) × cos(0.92146611) × R
    0.000191749999999991 × 0.60465306647159 × 6371000     		du = 738.667918634517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92158204)-sin(0.92146611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604560725443044-0.60465306647159)×R²
    abs(-0.48071123--0.48090298)×9.23410285458282e-05×R²
    0.000191749999999991×9.23410285458282e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.23410285458282e-05×40589641000000     		ar = 545531.101575684m²