Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13875 / 10727
↖ ↑ ↗
← N 52.649729°
W 27.564697°		 ← 741.11 m → N 52.649729°
W 27.553711°		 →
↑
741.14 m
↓
↑
741.14 m
↓
N 52.643064°
W 27.564697°		 ← 741.23 m →
549 309 m²		 N 52.643064°
W 27.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423446655273438 y=0.327377319335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423446655273438 × 215)
    floor (0.423446655273438 × 32768)
    floor (13875.5)     		tx = 13875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327377319335938 × 215)
    floor (0.327377319335938 × 32768)
    floor (10727.5)     		ty = 10727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13875 / 10727 ti = "15/13875/10727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13875/10727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13875 ÷ 215
    13875 ÷ 32768     		x = 0.423431396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10727 ÷ 215
    10727 ÷ 32768     		y = 0.327362060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.15313720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48109472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327362060546875 × 2 - 1) × π
    0.34527587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08471616460263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48109472} λ = -0.48109472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08471616460263))-π/2
    2×atan(2.95859994416125)-π/2
    2×1.24485372577626-π/2
    2.48970745155253-1.57079632675     		φ = 0.91891112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48109472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.564697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91891112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.649729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13875 KachelY 10727 -0.48109472 0.91891112 -27.564697 52.649729
    Oben rechts KachelX + 1 13876 KachelY 10727 -0.48090298 0.91891112 -27.553711 52.649729
    Unten links KachelX 13875 KachelY + 1 10728 -0.48109472 0.91879479 -27.564697 52.643064
    Unten rechts KachelX + 1 13876 KachelY + 1 10728 -0.48090298 0.91879479 -27.553711 52.643064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91891112-0.91879479) × R
    0.000116329999999998 × 6371000     		dl = 741.138429999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91891112-0.91879479) × R
    0.000116329999999998 × 6371000     		dr = 741.138429999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48109472--0.48090298) × cos(0.91891112) × R
    0.000191739999999996 × 0.606686112016072 × 6371000     		do = 741.112914896518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48109472--0.48090298) × cos(0.91879479) × R
    0.000191739999999996 × 0.606778583453547 × 6371000     		du = 741.225875742685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91891112)-sin(0.91879479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606686112016072-0.606778583453547)×R²
    abs(-0.48090298--0.48109472)×9.24714374744839e-05×R²
    0.000191739999999996×9.24714374744839e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.24714374744839e-05×40589641000000     		ar = 549309.122630271m²