Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13875 / 10685
↖ ↑ ↗
← N 52.928774°
W 27.564697°		 ← 736.37 m → N 52.928774°
W 27.553711°		 →
↑
736.42 m
↓
↑
736.42 m
↓
N 52.922151°
W 27.564697°		 ← 736.49 m →
542 325 m²		 N 52.922151°
W 27.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423446655273438 y=0.326095581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423446655273438 × 215)
    floor (0.423446655273438 × 32768)
    floor (13875.5)     		tx = 13875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326095581054688 × 215)
    floor (0.326095581054688 × 32768)
    floor (10685.5)     		ty = 10685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13875 / 10685 ti = "15/13875/10685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13875/10685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13875 ÷ 215
    13875 ÷ 32768     		x = 0.423431396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10685 ÷ 215
    10685 ÷ 32768     		y = 0.326080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.15313720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48109472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326080322265625 × 2 - 1) × π
    0.34783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0927695637388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48109472} λ = -0.48109472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0927695637388))-π/2
    2×atan(2.98252293178165)-π/2
    2×1.2472888556485-π/2
    2.494577711297-1.57079632675     		φ = 0.92378138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48109472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.564697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92378138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.928774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13875 KachelY 10685 -0.48109472 0.92378138 -27.564697 52.928774
    Oben rechts KachelX + 1 13876 KachelY 10685 -0.48090298 0.92378138 -27.553711 52.928774
    Unten links KachelX 13875 KachelY + 1 10686 -0.48109472 0.92366579 -27.564697 52.922151
    Unten rechts KachelX + 1 13876 KachelY + 1 10686 -0.48090298 0.92366579 -27.553711 52.922151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92378138-0.92366579) × R
    0.000115589999999943 × 6371000     		dl = 736.423889999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92378138-0.92366579) × R
    0.000115589999999943 × 6371000     		dr = 736.423889999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48109472--0.48090298) × cos(0.92378138) × R
    0.000191739999999996 × 0.602807360503113 × 6371000     		do = 736.374726922549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48109472--0.48090298) × cos(0.92366579) × R
    0.000191739999999996 × 0.602899584206741 × 6371000     		du = 736.487385143109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92378138)-sin(0.92366579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602807360503113-0.602899584206741)×R²
    abs(-0.48090298--0.48109472)×9.22237036282691e-05×R²
    0.000191739999999996×9.22237036282691e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.22237036282691e-05×40589641000000     		ar = 542325.42360386m²