Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13874 / 3886
↖ ↑ ↗
← N 79.596318°
W 27.575683°		 ← 220.61 m → N 79.596318°
W 27.564697°		 →
↑
220.63 m
↓
↑
220.63 m
↓
N 79.594334°
W 27.575683°		 ← 220.65 m →
48 676 m²		 N 79.594334°
W 27.564697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423416137695312 y=0.118606567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423416137695312 × 215)
    floor (0.423416137695312 × 32768)
    floor (13874.5)     		tx = 13874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118606567382812 × 215)
    floor (0.118606567382812 × 32768)
    floor (3886.5)     		ty = 3886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13874 / 3886 ti = "15/13874/3886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13874/3886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13874 ÷ 215
    13874 ÷ 32768     		x = 0.42340087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3886 ÷ 215
    3886 ÷ 32768     		y = 0.11859130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.1531982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48128647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11859130859375 × 2 - 1) × π
    0.7628173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39646148580585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48128647} λ = -0.48128647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39646148580585))-π/2
    2×atan(10.9842396442787)-π/2
    2×1.48000707251861-π/2
    2.96001414503722-1.57079632675     		φ = 1.38921782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48128647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.575683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38921782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.596318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13874 KachelY 3886 -0.48128647 1.38921782 -27.575683 79.596318
    Oben rechts KachelX + 1 13875 KachelY 3886 -0.48109472 1.38921782 -27.564697 79.596318
    Unten links KachelX 13874 KachelY + 1 3887 -0.48128647 1.38918319 -27.575683 79.594334
    Unten rechts KachelX + 1 13875 KachelY + 1 3887 -0.48109472 1.38918319 -27.564697 79.594334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38921782-1.38918319) × R
    3.46300000000355e-05 × 6371000     		dl = 220.627730000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38921782-1.38918319) × R
    3.46300000000355e-05 × 6371000     		dr = 220.627730000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48128647--0.48109472) × cos(1.38921782) × R
    0.000191750000000046 × 0.180582353692585 × 6371000     		do = 220.606491128298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48128647--0.48109472) × cos(1.38918319) × R
    0.000191750000000046 × 0.18061641426252 × 6371000     		du = 220.648100857407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38921782)-sin(1.38918319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180582353692585-0.18061641426252)×R²
    abs(-0.48109472--0.48128647)×3.40605699344354e-05×R²
    0.000191750000000046×3.40605699344354e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.40605699344354e-05×40589641000000     		ar = 48676.4994958486m²