Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13872 / 11089
↖ ↑ ↗
← N 50.169862°
W 27.597656°		 ← 782.48 m → N 50.169862°
W 27.586670°		 →
↑
782.49 m
↓
↑
782.49 m
↓
N 50.162825°
W 27.597656°		 ← 782.59 m →
612 322 m²		 N 50.162825°
W 27.586670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423355102539062 y=0.338424682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423355102539062 × 215)
    floor (0.423355102539062 × 32768)
    floor (13872.5)     		tx = 13872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338424682617188 × 215)
    floor (0.338424682617188 × 32768)
    floor (11089.5)     		ty = 11089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13872 / 11089 ti = "15/13872/11089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13872/11089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13872 ÷ 215
    13872 ÷ 32768     		x = 0.42333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11089 ÷ 215
    11089 ÷ 32768     		y = 0.338409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42333984375 × 2 - 1) × π
    -0.1533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48166997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338409423828125 × 2 - 1) × π
    0.32318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01530353395279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48166997} λ = -0.48166997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01530353395279))-π/2
    2×atan(2.76020108498235)-π/2
    2×1.22321279975724-π/2
    2.44642559951449-1.57079632675     		φ = 0.87562927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48166997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87562927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.169862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13872 KachelY 11089 -0.48166997 0.87562927 -27.597656 50.169862
    Oben rechts KachelX + 1 13873 KachelY 11089 -0.48147822 0.87562927 -27.586670 50.169862
    Unten links KachelX 13872 KachelY + 1 11090 -0.48166997 0.87550645 -27.597656 50.162825
    Unten rechts KachelX + 1 13873 KachelY + 1 11090 -0.48147822 0.87550645 -27.586670 50.162825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87562927-0.87550645) × R
    0.000122819999999968 × 6371000     		dl = 782.486219999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87562927-0.87550645) × R
    0.000122819999999968 × 6371000     		dr = 782.486219999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48166997--0.48147822) × cos(0.87562927) × R
    0.000191749999999991 × 0.64051373918435 × 6371000     		do = 782.476723951827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48166997--0.48147822) × cos(0.87550645) × R
    0.000191749999999991 × 0.640608053568081 × 6371000     		du = 782.591942104832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87562927)-sin(0.87550645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64051373918435-0.640608053568081)×R²
    abs(-0.48147822--0.48166997)×9.43143837307536e-05×R²
    0.000191749999999991×9.43143837307536e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.43143837307536e-05×40589641000000     		ar = 612322.333040624m²