Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13872 / 11087
↖ ↑ ↗
← N 50.183933°
W 27.597656°		 ← 782.25 m → N 50.183933°
W 27.586670°		 →
↑
782.30 m
↓
↑
782.30 m
↓
N 50.176898°
W 27.597656°		 ← 782.36 m →
611 992 m²		 N 50.176898°
W 27.586670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423355102539062 y=0.338363647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423355102539062 × 215)
    floor (0.423355102539062 × 32768)
    floor (13872.5)     		tx = 13872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338363647460938 × 215)
    floor (0.338363647460938 × 32768)
    floor (11087.5)     		ty = 11087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13872 / 11087 ti = "15/13872/11087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13872/11087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13872 ÷ 215
    13872 ÷ 32768     		x = 0.42333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11087 ÷ 215
    11087 ÷ 32768     		y = 0.338348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42333984375 × 2 - 1) × π
    -0.1533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48166997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338348388671875 × 2 - 1) × π
    0.32330322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01568702914975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48166997} λ = -0.48166997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01568702914975))-π/2
    2×atan(2.76125981183644)-π/2
    2×1.22333559864363-π/2
    2.44667119728726-1.57079632675     		φ = 0.87587487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48166997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87587487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.183933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13872 KachelY 11087 -0.48166997 0.87587487 -27.597656 50.183933
    Oben rechts KachelX + 1 13873 KachelY 11087 -0.48147822 0.87587487 -27.586670 50.183933
    Unten links KachelX 13872 KachelY + 1 11088 -0.48166997 0.87575208 -27.597656 50.176898
    Unten rechts KachelX + 1 13873 KachelY + 1 11088 -0.48147822 0.87575208 -27.586670 50.176898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87587487-0.87575208) × R
    0.000122789999999928 × 6371000     		dl = 782.295089999543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87587487-0.87575208) × R
    0.000122789999999928 × 6371000     		dr = 782.295089999543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48166997--0.48147822) × cos(0.87587487) × R
    0.000191749999999991 × 0.640325112156499 × 6371000     		do = 782.246289770992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48166997--0.48147822) × cos(0.87575208) × R
    0.000191749999999991 × 0.640419422818882 × 6371000     		du = 782.361503377853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87587487)-sin(0.87575208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640325112156499-0.640419422818882)×R²
    abs(-0.48147822--0.48166997)×9.43106623835233e-05×R²
    0.000191749999999991×9.43106623835233e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.43106623835233e-05×40589641000000     		ar = 611992.497947214m²