Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1387 / 2997
↖ ↑ ↗
← S 63.743631°
W 58.095703°		 ← 4 323.46 m → S 63.743631°
W 58.007813°		 →
↑
4 320.49 m
↓
↑
4 320.49 m
↓
S 63.782486°
W 58.095703°		 ← 4 317.51 m →
18 666 622 m²		 S 63.782486°
W 58.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3387451171875 y=0.7318115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3387451171875 × 212)
    floor (0.3387451171875 × 4096)
    floor (1387.5)     		tx = 1387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7318115234375 × 212)
    floor (0.7318115234375 × 4096)
    floor (2997.5)     		ty = 2997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1387 / 2997 ti = "12/1387/2997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1387/2997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1387 ÷ 212
    1387 ÷ 4096     		x = 0.338623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2997 ÷ 212
    2997 ÷ 4096     		y = 0.731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338623046875 × 2 - 1) × π
    -0.32275390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01396130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731689453125 × 2 - 1) × π
    -0.46337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45574776766187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01396130} λ = -1.01396130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45574776766187))-π/2
    2×atan(0.233225899894159)-π/2
    2×0.229130044558728-π/2
    0.458260089117456-1.57079632675     		φ = -1.11253624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01396130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11253624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.743631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1387 KachelY 2997 -1.01396130 -1.11253624 -58.095703 -63.743631
    Oben rechts KachelX + 1 1388 KachelY 2997 -1.01242732 -1.11253624 -58.007813 -63.743631
    Unten links KachelX 1387 KachelY + 1 2998 -1.01396130 -1.11321439 -58.095703 -63.782486
    Unten rechts KachelX + 1 1388 KachelY + 1 2998 -1.01242732 -1.11321439 -58.007813 -63.782486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11253624--1.11321439) × R
    0.000678149999999933 × 6371000     		dl = 4320.49364999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11253624--1.11321439) × R
    0.000678149999999933 × 6371000     		dr = 4320.49364999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01396130--1.01242732) × cos(-1.11253624) × R
    0.00153398000000005 × 0.442388382197799 × 6371000     		do = 4323.45572236713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01396130--1.01242732) × cos(-1.11321439) × R
    0.00153398000000005 × 0.44178009961464 × 6371000     		du = 4317.51098484507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11253624)-sin(-1.11321439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442388382197799-0.44178009961464)×R²
    abs(-1.01242732--1.01396130)×0.000608282583159037×R²
    0.00153398000000005×0.000608282583159037×6371000²
    0.00153398000000005×0.000608282583159037×40589641000000     		ar = 18666621.6095622m²