Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13868 / 10724
↖ ↑ ↗
← N 52.669721°
W 27.641602°		 ← 740.81 m → N 52.669721°
W 27.630615°		 →
↑
740.88 m
↓
↑
740.88 m
↓
N 52.663058°
W 27.641602°		 ← 740.93 m →
548 898 m²		 N 52.663058°
W 27.630615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423233032226562 y=0.327285766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423233032226562 × 215)
    floor (0.423233032226562 × 32768)
    floor (13868.5)     		tx = 13868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327285766601562 × 215)
    floor (0.327285766601562 × 32768)
    floor (10724.5)     		ty = 10724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13868 / 10724 ti = "15/13868/10724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13868/10724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13868 ÷ 215
    13868 ÷ 32768     		x = 0.4232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10724 ÷ 215
    10724 ÷ 32768     		y = 0.3272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48243696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3272705078125 × 2 - 1) × π
    0.345458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08529140739807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48243696} λ = -0.48243696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08529140739807))-π/2
    2×atan(2.96030234706428)-π/2
    2×1.24502818178811-π/2
    2.49005636357622-1.57079632675     		φ = 0.91926004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48243696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.641602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91926004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.669721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13868 KachelY 10724 -0.48243696 0.91926004 -27.641602 52.669721
    Oben rechts KachelX + 1 13869 KachelY 10724 -0.48224521 0.91926004 -27.630615 52.669721
    Unten links KachelX 13868 KachelY + 1 10725 -0.48243696 0.91914375 -27.641602 52.663058
    Unten rechts KachelX + 1 13869 KachelY + 1 10725 -0.48224521 0.91914375 -27.630615 52.663058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91926004-0.91914375) × R
    0.000116289999999908 × 6371000     		dl = 740.883589999413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91926004-0.91914375) × R
    0.000116289999999908 × 6371000     		dr = 740.883589999413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48243696--0.48224521) × cos(0.91926004) × R
    0.000191750000000046 × 0.606408704108881 × 6371000     		do = 740.812674481224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48243696--0.48224521) × cos(0.91914375) × R
    0.000191750000000046 × 0.606501168364606 × 6371000     		du = 740.925632445239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91926004)-sin(0.91914375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606408704108881-0.606501168364606)×R²
    abs(-0.48224521--0.48243696)×9.24642557248445e-05×R²
    0.000191750000000046×9.24642557248445e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.24642557248445e-05×40589641000000     		ar = 548897.798756563m²