Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13867 / 4546
↖ ↑ ↗
← N 78.202072°
W 27.652588°		 ← 249.78 m → N 78.202072°
W 27.641602°		 →
↑
249.81 m
↓
↑
249.81 m
↓
N 78.199825°
W 27.652588°		 ← 249.82 m →
62 402 m²		 N 78.199825°
W 27.641602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423202514648438 y=0.138748168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423202514648438 × 215)
    floor (0.423202514648438 × 32768)
    floor (13867.5)     		tx = 13867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138748168945312 × 215)
    floor (0.138748168945312 × 32768)
    floor (4546.5)     		ty = 4546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13867 / 4546 ti = "15/13867/4546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13867/4546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13867 ÷ 215
    13867 ÷ 32768     		x = 0.423187255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4546 ÷ 215
    4546 ÷ 32768     		y = 0.13873291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423187255859375 × 2 - 1) × π
    -0.15362548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48262871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13873291015625 × 2 - 1) × π
    0.7225341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2699080708089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48262871} λ = -0.48262871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2699080708089))-π/2
    2×atan(9.6785110354846)-π/2
    2×1.46783997738313-π/2
    2.93567995476625-1.57079632675     		φ = 1.36488363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48262871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.652588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36488363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.202072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13867 KachelY 4546 -0.48262871 1.36488363 -27.652588 78.202072
    Oben rechts KachelX + 1 13868 KachelY 4546 -0.48243696 1.36488363 -27.641602 78.202072
    Unten links KachelX 13867 KachelY + 1 4547 -0.48262871 1.36484442 -27.652588 78.199825
    Unten rechts KachelX + 1 13868 KachelY + 1 4547 -0.48243696 1.36484442 -27.641602 78.199825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36488363-1.36484442) × R
    3.92099999999562e-05 × 6371000     		dl = 249.806909999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36488363-1.36484442) × R
    3.92099999999562e-05 × 6371000     		dr = 249.806909999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48262871--0.48243696) × cos(1.36488363) × R
    0.000191749999999991 × 0.204460660816008 × 6371000     		do = 249.77716833376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48262871--0.48243696) × cos(1.36484442) × R
    0.000191749999999991 × 0.204499042339016 × 6371000     		du = 249.824056708741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36488363)-sin(1.36484442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204460660816008-0.204499042339016)×R²
    abs(-0.48243696--0.48262871)×3.83815230078355e-05×R²
    0.000191749999999991×3.83815230078355e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.83815230078355e-05×40589641000000     		ar = 62401.9191371117m²