Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13865 / 3713
↖ ↑ ↗
← N 79.933998°
W 27.674561°		 ← 213.52 m → N 79.933998°
W 27.663574°		 →
↑
213.49 m
↓
↑
213.49 m
↓
N 79.932078°
W 27.674561°		 ← 213.56 m →
45 589 m²		 N 79.932078°
W 27.663574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423141479492188 y=0.113327026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423141479492188 × 215)
    floor (0.423141479492188 × 32768)
    floor (13865.5)     		tx = 13865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113327026367188 × 215)
    floor (0.113327026367188 × 32768)
    floor (3713.5)     		ty = 3713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13865 / 3713 ti = "15/13865/3713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13865/3713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13865 ÷ 215
    13865 ÷ 32768     		x = 0.423126220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3713 ÷ 215
    3713 ÷ 32768     		y = 0.113311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423126220703125 × 2 - 1) × π
    -0.15374755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48301220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113311767578125 × 2 - 1) × π
    0.77337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42963382034293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48301220} λ = -0.48301220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42963382034293))-π/2
    2×atan(11.354723449906)-π/2
    2×1.48295388991091-π/2
    2.96590777982182-1.57079632675     		φ = 1.39511145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48301220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.674561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39511145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.933998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13865 KachelY 3713 -0.48301220 1.39511145 -27.674561 79.933998
    Oben rechts KachelX + 1 13866 KachelY 3713 -0.48282045 1.39511145 -27.663574 79.933998
    Unten links KachelX 13865 KachelY + 1 3714 -0.48301220 1.39507794 -27.674561 79.932078
    Unten rechts KachelX + 1 13866 KachelY + 1 3714 -0.48282045 1.39507794 -27.663574 79.932078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39511145-1.39507794) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dl = 213.492209999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39511145-1.39507794) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dr = 213.492209999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48301220--0.48282045) × cos(1.39511145) × R
    0.000191749999999991 × 0.174782513063436 × 6371000     		do = 213.521178171921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48301220--0.48282045) × cos(1.39507794) × R
    0.000191749999999991 × 0.174815507148057 × 6371000     		du = 213.561485040711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39511145)-sin(1.39507794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174782513063436-0.174815507148057)×R²
    abs(-0.48282045--0.48301220)×3.29940846200971e-05×R²
    0.000191749999999991×3.29940846200971e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.29940846200971e-05×40589641000000     		ar = 45589.4108151293m²