Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13864 / 4503
↖ ↑ ↗
← N 78.298272°
W 27.685547°		 ← 247.77 m → N 78.298272°
W 27.674561°		 →
↑
247.77 m
↓
↑
247.77 m
↓
N 78.296044°
W 27.685547°		 ← 247.82 m →
61 395 m²		 N 78.296044°
W 27.674561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423110961914062 y=0.137435913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423110961914062 × 215)
    floor (0.423110961914062 × 32768)
    floor (13864.5)     		tx = 13864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137435913085938 × 215)
    floor (0.137435913085938 × 32768)
    floor (4503.5)     		ty = 4503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13864 / 4503 ti = "15/13864/4503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13864/4503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13864 ÷ 215
    13864 ÷ 32768     		x = 0.423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4503 ÷ 215
    4503 ÷ 32768     		y = 0.137420654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.15380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48320395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137420654296875 × 2 - 1) × π
    0.72515869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27815321754355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48320395} λ = -0.48320395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27815321754355))-π/2
    2×atan(9.75864166960739)-π/2
    2×1.46867948867859-π/2
    2.93735897735718-1.57079632675     		φ = 1.36656265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48320395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.685547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36656265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.298272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13864 KachelY 4503 -0.48320395 1.36656265 -27.685547 78.298272
    Oben rechts KachelX + 1 13865 KachelY 4503 -0.48301220 1.36656265 -27.674561 78.298272
    Unten links KachelX 13864 KachelY + 1 4504 -0.48320395 1.36652376 -27.685547 78.296044
    Unten rechts KachelX + 1 13865 KachelY + 1 4504 -0.48301220 1.36652376 -27.674561 78.296044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36656265-1.36652376) × R
    3.88900000001247e-05 × 6371000     		dl = 247.768190000794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36656265-1.36652376) × R
    3.88900000001247e-05 × 6371000     		dr = 247.768190000794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48320395--0.48301220) × cos(1.36656265) × R
    0.000191749999999991 × 0.202816823054031 × 6371000     		do = 247.768991603096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48320395--0.48301220) × cos(1.36652376) × R
    0.000191749999999991 × 0.202854904637927 × 6371000     		du = 247.815513560686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36656265)-sin(1.36652376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202816823054031-0.202854904637927)×R²
    abs(-0.48301220--0.48320395)×3.8081583896038e-05×R²
    0.000191749999999991×3.8081583896038e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.8081583896038e-05×40589641000000     		ar = 61395.0379264659m²