Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13861 / 3659
↖ ↑ ↗
← N 80.037163°
W 27.718506°		 ← 211.36 m → N 80.037163°
W 27.707519°		 →
↑
211.39 m
↓
↑
211.39 m
↓
N 80.035262°
W 27.718506°		 ← 211.39 m →
44 683 m²		 N 80.035262°
W 27.707519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423019409179688 y=0.111679077148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423019409179688 × 215)
    floor (0.423019409179688 × 32768)
    floor (13861.5)     		tx = 13861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111679077148438 × 215)
    floor (0.111679077148438 × 32768)
    floor (3659.5)     		ty = 3659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13861 / 3659 ti = "15/13861/3659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13861/3659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13861 ÷ 215
    13861 ÷ 32768     		x = 0.423004150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3659 ÷ 215
    3659 ÷ 32768     		y = 0.111663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423004150390625 × 2 - 1) × π
    -0.15399169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48377919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111663818359375 × 2 - 1) × π
    0.77667236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43998819066086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48377919} λ = -0.48377919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43998819066086))-π/2
    2×atan(11.4729052545657)-π/2
    2×1.48385417384904-π/2
    2.96770834769808-1.57079632675     		φ = 1.39691202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48377919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.718506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39691202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.037163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13861 KachelY 3659 -0.48377919 1.39691202 -27.718506 80.037163
    Oben rechts KachelX + 1 13862 KachelY 3659 -0.48358744 1.39691202 -27.707519 80.037163
    Unten links KachelX 13861 KachelY + 1 3660 -0.48377919 1.39687884 -27.718506 80.035262
    Unten rechts KachelX + 1 13862 KachelY + 1 3660 -0.48358744 1.39687884 -27.707519 80.035262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39691202-1.39687884) × R
    3.3179999999966e-05 × 6371000     		dl = 211.389779999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39691202-1.39687884) × R
    3.3179999999966e-05 × 6371000     		dr = 211.389779999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48377919--0.48358744) × cos(1.39691202) × R
    0.000191750000000046 × 0.173009376750786 × 6371000     		do = 211.355045256848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48377919--0.48358744) × cos(1.39687884) × R
    0.000191750000000046 × 0.173042056307027 × 6371000     		du = 211.394967885425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39691202)-sin(1.39687884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173009376750786-0.173042056307027)×R²
    abs(-0.48358744--0.48377919)×3.26795562410609e-05×R²
    0.000191750000000046×3.26795562410609e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.26795562410609e-05×40589641000000     		ar = 44682.5161401044m²