Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13856 / 11103
↖ ↑ ↗
← N 50.071244°
W 27.773438°		 ← 784.09 m → N 50.071244°
W 27.762451°		 →
↑
784.14 m
↓
↑
784.14 m
↓
N 50.064192°
W 27.773438°		 ← 784.21 m →
614 884 m²		 N 50.064192°
W 27.762451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422866821289062 y=0.338851928710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422866821289062 × 215)
    floor (0.422866821289062 × 32768)
    floor (13856.5)     		tx = 13856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338851928710938 × 215)
    floor (0.338851928710938 × 32768)
    floor (11103.5)     		ty = 11103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13856 / 11103 ti = "15/13856/11103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13856/11103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13856 ÷ 215
    13856 ÷ 32768     		x = 0.4228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11103 ÷ 215
    11103 ÷ 32768     		y = 0.338836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4228515625 × 2 - 1) × π
    -0.154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48473793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338836669921875 × 2 - 1) × π
    0.32232666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01261906757407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48473793} λ = -0.48473793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01261906757407))-π/2
    2×atan(2.7528013545787)-π/2
    2×1.22235219460971-π/2
    2.44470438921942-1.57079632675     		φ = 0.87390806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48473793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.773438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87390806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.071244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13856 KachelY 11103 -0.48473793 0.87390806 -27.773438 50.071244
    Oben rechts KachelX + 1 13857 KachelY 11103 -0.48454618 0.87390806 -27.762451 50.071244
    Unten links KachelX 13856 KachelY + 1 11104 -0.48473793 0.87378498 -27.773438 50.064192
    Unten rechts KachelX + 1 13857 KachelY + 1 11104 -0.48454618 0.87378498 -27.762451 50.064192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87390806-0.87378498) × R
    0.000123079999999942 × 6371000     		dl = 784.142679999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87390806-0.87378498) × R
    0.000123079999999942 × 6371000     		dr = 784.142679999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48473793--0.48454618) × cos(0.87390806) × R
    0.000191749999999991 × 0.641834587307802 × 6371000     		do = 784.090323862724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48473793--0.48454618) × cos(0.87378498) × R
    0.000191749999999991 × 0.641928965496643 × 6371000     		du = 784.205619962556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87390806)-sin(0.87378498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641834587307802-0.641928965496643)×R²
    abs(-0.48454618--0.48473793)×9.4378188841282e-05×R²
    0.000191749999999991×9.4378188841282e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.4378188841282e-05×40589641000000     		ar = 614883.892988271m²