Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13849 / 3641
↖ ↑ ↗
← N 80.071318°
W 27.850342°		 ← 210.64 m → N 80.071318°
W 27.839355°		 →
↑
210.63 m
↓
↑
210.63 m
↓
N 80.069424°
W 27.850342°		 ← 210.68 m →
44 370 m²		 N 80.069424°
W 27.839355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422653198242188 y=0.111129760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422653198242188 × 215)
    floor (0.422653198242188 × 32768)
    floor (13849.5)     		tx = 13849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111129760742188 × 215)
    floor (0.111129760742188 × 32768)
    floor (3641.5)     		ty = 3641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13849 / 3641 ti = "15/13849/3641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13849/3641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13849 ÷ 215
    13849 ÷ 32768     		x = 0.422637939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3641 ÷ 215
    3641 ÷ 32768     		y = 0.111114501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422637939453125 × 2 - 1) × π
    -0.15472412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48608016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111114501953125 × 2 - 1) × π
    0.77777099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4434396474335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48608016} λ = -0.48608016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4434396474335))-π/2
    2×atan(11.5125719055966)-π/2
    2×1.48415223412089-π/2
    2.96830446824177-1.57079632675     		φ = 1.39750814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48608016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.850342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39750814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.071318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13849 KachelY 3641 -0.48608016 1.39750814 -27.850342 80.071318
    Oben rechts KachelX + 1 13850 KachelY 3641 -0.48588841 1.39750814 -27.839355 80.071318
    Unten links KachelX 13849 KachelY + 1 3642 -0.48608016 1.39747508 -27.850342 80.069424
    Unten rechts KachelX + 1 13850 KachelY + 1 3642 -0.48588841 1.39747508 -27.839355 80.069424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39750814-1.39747508) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dl = 210.625260000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39750814-1.39747508) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dr = 210.625260000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48608016--0.48588841) × cos(1.39750814) × R
    0.000191749999999991 × 0.172422215429273 × 6371000     		do = 210.637745940345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48608016--0.48588841) × cos(1.39747508) × R
    0.000191749999999991 × 0.172454780199937 × 6371000     		du = 210.677528342356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39750814)-sin(1.39747508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172422215429273-0.172454780199937)×R²
    abs(-0.48588841--0.48608016)×3.25647706643228e-05×R²
    0.000191749999999991×3.25647706643228e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.25647706643228e-05×40589641000000     		ar = 44369.8195984758m²