Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13848 / 4707
↖ ↑ ↗
← N 77.834904°
W 27.861328°		 ← 257.44 m → N 77.834904°
W 27.850342°		 →
↑
257.45 m
↓
↑
257.45 m
↓
N 77.832589°
W 27.861328°		 ← 257.48 m →
66 283 m²		 N 77.832589°
W 27.850342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422622680664062 y=0.143661499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422622680664062 × 215)
    floor (0.422622680664062 × 32768)
    floor (13848.5)     		tx = 13848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143661499023438 × 215)
    floor (0.143661499023438 × 32768)
    floor (4707.5)     		ty = 4707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13848 / 4707 ti = "15/13848/4707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13848/4707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13848 ÷ 215
    13848 ÷ 32768     		x = 0.422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4707 ÷ 215
    4707 ÷ 32768     		y = 0.143646240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.15478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48627191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143646240234375 × 2 - 1) × π
    0.71270751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23903670745358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48627191} λ = -0.48627191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23903670745358))-π/2
    2×atan(9.38428711821733)-π/2
    2×1.46463583970861-π/2
    2.92927167941723-1.57079632675     		φ = 1.35847535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48627191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.861328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35847535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.834904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13848 KachelY 4707 -0.48627191 1.35847535 -27.861328 77.834904
    Oben rechts KachelX + 1 13849 KachelY 4707 -0.48608016 1.35847535 -27.850342 77.834904
    Unten links KachelX 13848 KachelY + 1 4708 -0.48627191 1.35843494 -27.861328 77.832589
    Unten rechts KachelX + 1 13849 KachelY + 1 4708 -0.48608016 1.35843494 -27.850342 77.832589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35847535-1.35843494) × R
    4.04099999999907e-05 × 6371000     		dl = 257.452109999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35847535-1.35843494) × R
    4.04099999999907e-05 × 6371000     		dr = 257.452109999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48627191--0.48608016) × cos(1.35847535) × R
    0.000191749999999991 × 0.210729323386287 × 6371000     		do = 257.435212574619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48627191--0.48608016) × cos(1.35843494) × R
    0.000191749999999991 × 0.210768825785455 × 6371000     		du = 257.483470255911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35847535)-sin(1.35843494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210729323386287-0.210768825785455)×R²
    abs(-0.48608016--0.48627191)×3.95023991677512e-05×R²
    0.000191749999999991×3.95023991677512e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.95023991677512e-05×40589641000000     		ar = 66283.4506952261m²