Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13848 / 10824
↖ ↑ ↗
← N 76.090236°
W103.930664°		 ← 146.83 m → N 76.090236°
W103.925171°		 →
↑
146.79 m
↓
↑
146.79 m
↓
N 76.088916°
W103.930664°		 ← 146.84 m →
21 554 m²		 N 76.088916°
W103.925171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211311340332031 y=0.165168762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211311340332031 × 216)
    floor (0.211311340332031 × 65536)
    floor (13848.5)     		tx = 13848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165168762207031 × 216)
    floor (0.165168762207031 × 65536)
    floor (10824.5)     		ty = 10824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13848 / 10824 ti = "16/13848/10824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13848/10824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13848 ÷ 216
    13848 ÷ 65536     		x = 0.2113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10824 ÷ 216
    10824 ÷ 65536     		y = 0.1651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2113037109375 × 2 - 1) × π
    -0.577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.81393228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1651611328125 × 2 - 1) × π
    0.669677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10385465052502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81393228} λ = -1.81393228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10385465052502))-π/2
    2×atan(8.19770838956127)-π/2
    2×1.44941073534414-π/2
    2.89882147068827-1.57079632675     		φ = 1.32802514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81393228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.930664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32802514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.090236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13848 KachelY 10824 -1.81393228 1.32802514 -103.930664 76.090236
    Oben rechts KachelX + 1 13849 KachelY 10824 -1.81383641 1.32802514 -103.925171 76.090236
    Unten links KachelX 13848 KachelY + 1 10825 -1.81393228 1.32800210 -103.930664 76.088916
    Unten rechts KachelX + 1 13849 KachelY + 1 10825 -1.81383641 1.32800210 -103.925171 76.088916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32802514-1.32800210) × R
    2.30400000000852e-05 × 6371000     		dl = 146.787840000543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32802514-1.32800210) × R
    2.30400000000852e-05 × 6371000     		dr = 146.787840000543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81393228--1.81383641) × cos(1.32802514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240393469235958 × 6371000     		do = 146.829390997191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81393228--1.81383641) × cos(1.32800210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240415833536307 × 6371000     		du = 146.843050838329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32802514)-sin(1.32800210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240393469235958-0.240415833536307)×R²
    abs(-1.81383641--1.81393228)×2.23643003493812e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.23643003493812e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.23643003493812e-05×40589641000000     		ar = 21553.771703013m²