Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13847 / 3631
↖ ↑ ↗
← N 80.090243°
W 27.872315°		 ← 210.24 m → N 80.090243°
W 27.861328°		 →
↑
210.24 m
↓
↑
210.24 m
↓
N 80.088352°
W 27.872315°		 ← 210.28 m →
44 206 m²		 N 80.088352°
W 27.861328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422592163085938 y=0.110824584960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422592163085938 × 215)
    floor (0.422592163085938 × 32768)
    floor (13847.5)     		tx = 13847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110824584960938 × 215)
    floor (0.110824584960938 × 32768)
    floor (3631.5)     		ty = 3631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13847 / 3631 ti = "15/13847/3631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13847/3631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13847 ÷ 215
    13847 ÷ 32768     		x = 0.422576904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3631 ÷ 215
    3631 ÷ 32768     		y = 0.110809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422576904296875 × 2 - 1) × π
    -0.15484619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48646366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110809326171875 × 2 - 1) × π
    0.77838134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4453571234183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48646366} λ = -0.48646366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4453571234183))-π/2
    2×atan(11.5346681635007)-π/2
    2×1.48431738583026-π/2
    2.96863477166052-1.57079632675     		φ = 1.39783844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48646366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.872315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39783844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.090243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13847 KachelY 3631 -0.48646366 1.39783844 -27.872315 80.090243
    Oben rechts KachelX + 1 13848 KachelY 3631 -0.48627191 1.39783844 -27.861328 80.090243
    Unten links KachelX 13847 KachelY + 1 3632 -0.48646366 1.39780544 -27.872315 80.088352
    Unten rechts KachelX + 1 13848 KachelY + 1 3632 -0.48627191 1.39780544 -27.861328 80.088352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39783844-1.39780544) × R
    3.29999999999497e-05 × 6371000     		dl = 210.24299999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39783844-1.39780544) × R
    3.29999999999497e-05 × 6371000     		dr = 210.24299999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48646366--0.48627191) × cos(1.39783844) × R
    0.000191750000000046 × 0.172096852887705 × 6371000     		do = 210.240270289147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48646366--0.48627191) × cos(1.39780544) × R
    0.000191750000000046 × 0.172129360435112 × 6371000     		du = 210.27998278498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39783844)-sin(1.39780544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172096852887705-0.172129360435112)×R²
    abs(-0.48627191--0.48646366)×3.25075474066627e-05×R²
    0.000191750000000046×3.25075474066627e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.25075474066627e-05×40589641000000     		ar = 44205.7197872395m²