Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13847 / 10779
↖ ↑ ↗
← N 76.149535°
W103.936157°		 ← 146.23 m → N 76.149535°
W103.930664°		 →
↑
146.21 m
↓
↑
146.21 m
↓
N 76.148220°
W103.936157°		 ← 146.24 m →
21 382 m²		 N 76.148220°
W103.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211296081542969 y=0.164482116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211296081542969 × 216)
    floor (0.211296081542969 × 65536)
    floor (13847.5)     		tx = 13847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164482116699219 × 216)
    floor (0.164482116699219 × 65536)
    floor (10779.5)     		ty = 10779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13847 / 10779 ti = "16/13847/10779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13847/10779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13847 ÷ 216
    13847 ÷ 65536     		x = 0.211288452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10779 ÷ 216
    10779 ÷ 65536     		y = 0.164474487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211288452148438 × 2 - 1) × π
    -0.577423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.81402816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164474487304688 × 2 - 1) × π
    0.671051025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10816897149083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81402816} λ = -1.81402816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10816897149083))-π/2
    2×atan(8.23315233804536)-π/2
    2×1.44992821822031-π/2
    2.89985643644063-1.57079632675     		φ = 1.32906011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81402816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.936157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32906011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.149535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13847 KachelY 10779 -1.81402816 1.32906011 -103.936157 76.149535
    Oben rechts KachelX + 1 13848 KachelY 10779 -1.81393228 1.32906011 -103.930664 76.149535
    Unten links KachelX 13847 KachelY + 1 10780 -1.81402816 1.32903716 -103.936157 76.148220
    Unten rechts KachelX + 1 13848 KachelY + 1 10780 -1.81393228 1.32903716 -103.930664 76.148220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32906011-1.32903716) × R
    2.29499999999661e-05 × 6371000     		dl = 146.214449999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32906011-1.32903716) × R
    2.29499999999661e-05 × 6371000     		dr = 146.214449999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81402816--1.81393228) × cos(1.32906011) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.239388720614202 × 6371000     		do = 146.230954282396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81402816--1.81393228) × cos(1.32903716) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.239411003252545 × 6371000     		du = 146.244565665006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32906011)-sin(1.32903716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239388720614202-0.239411003252545)×R²
    abs(-1.81393228--1.81402816)×2.22826383423913e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.22826383423913e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.22826383423913e-05×40589641000000     		ar = 21382.0736446931m²