Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13847 / 10668
↖ ↑ ↗
← N 53.041213°
W 27.872315°		 ← 734.50 m → N 53.041213°
W 27.861328°		 →
↑
734.58 m
↓
↑
734.58 m
↓
N 53.034607°
W 27.872315°		 ← 734.61 m →
539 587 m²		 N 53.034607°
W 27.861328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422592163085938 y=0.325576782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422592163085938 × 215)
    floor (0.422592163085938 × 32768)
    floor (13847.5)     		tx = 13847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325576782226562 × 215)
    floor (0.325576782226562 × 32768)
    floor (10668.5)     		ty = 10668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13847 / 10668 ti = "15/13847/10668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13847/10668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13847 ÷ 215
    13847 ÷ 32768     		x = 0.422576904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10668 ÷ 215
    10668 ÷ 32768     		y = 0.3255615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422576904296875 × 2 - 1) × π
    -0.15484619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48646366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3255615234375 × 2 - 1) × π
    0.348876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09602927291296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48646366} λ = -0.48646366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09602927291296))-π/2
    2×atan(2.99226095207881)-π/2
    2×1.24827006679451-π/2
    2.49654013358902-1.57079632675     		φ = 0.92574381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48646366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.872315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92574381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.041213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13847 KachelY 10668 -0.48646366 0.92574381 -27.872315 53.041213
    Oben rechts KachelX + 1 13848 KachelY 10668 -0.48627191 0.92574381 -27.861328 53.041213
    Unten links KachelX 13847 KachelY + 1 10669 -0.48646366 0.92562851 -27.872315 53.034607
    Unten rechts KachelX + 1 13848 KachelY + 1 10669 -0.48627191 0.92562851 -27.861328 53.034607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92574381-0.92562851) × R
    0.000115299999999929 × 6371000     		dl = 734.57629999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92574381-0.92562851) × R
    0.000115299999999929 × 6371000     		dr = 734.57629999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48646366--0.48627191) × cos(0.92574381) × R
    0.000191750000000046 × 0.601240403843528 × 6371000     		do = 734.49887602128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48646366--0.48627191) × cos(0.92562851) × R
    0.000191750000000046 × 0.601332532409484 × 6371000     		du = 734.611423893499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92574381)-sin(0.92562851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601240403843528-0.601332532409484)×R²
    abs(-0.48627191--0.48646366)×9.21285659566395e-05×R²
    0.000191750000000046×9.21285659566395e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.21285659566395e-05×40589641000000     		ar = 539586.804798999m²