Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13845 / 10673
↖ ↑ ↗
← N 53.008173°
W 27.894287°		 ← 735.06 m → N 53.008173°
W 27.883300°		 →
↑
735.09 m
↓
↑
735.09 m
↓
N 53.001562°
W 27.894287°		 ← 735.17 m →
540 375 m²		 N 53.001562°
W 27.883300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422531127929688 y=0.325729370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422531127929688 × 215)
    floor (0.422531127929688 × 32768)
    floor (13845.5)     		tx = 13845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325729370117188 × 215)
    floor (0.325729370117188 × 32768)
    floor (10673.5)     		ty = 10673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13845 / 10673 ti = "15/13845/10673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13845/10673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13845 ÷ 215
    13845 ÷ 32768     		x = 0.422515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10673 ÷ 215
    10673 ÷ 32768     		y = 0.325714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.15496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48684715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325714111328125 × 2 - 1) × π
    0.34857177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09507053492056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48684715} λ = -0.48684715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09507053492056))-π/2
    2×atan(2.98939353259251)-π/2
    2×1.24798174037148-π/2
    2.49596348074295-1.57079632675     		φ = 0.92516715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48684715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.894287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92516715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.008173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13845 KachelY 10673 -0.48684715 0.92516715 -27.894287 53.008173
    Oben rechts KachelX + 1 13846 KachelY 10673 -0.48665540 0.92516715 -27.883300 53.008173
    Unten links KachelX 13845 KachelY + 1 10674 -0.48684715 0.92505177 -27.894287 53.001562
    Unten rechts KachelX + 1 13846 KachelY + 1 10674 -0.48665540 0.92505177 -27.883300 53.001562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92516715-0.92505177) × R
    0.000115379999999998 × 6371000     		dl = 735.085979999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92516715-0.92505177) × R
    0.000115379999999998 × 6371000     		dr = 735.085979999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48684715--0.48665540) × cos(0.92516715) × R
    0.000191749999999991 × 0.6017010945148 × 6371000     		do = 735.061673827203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48684715--0.48665540) × cos(0.92505177) × R
    0.000191749999999991 × 0.601793246978722 × 6371000     		du = 735.174250894114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92516715)-sin(0.92505177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6017010945148-0.601793246978722)×R²
    abs(-0.48665540--0.48684715)×9.21524639215798e-05×R²
    0.000191749999999991×9.21524639215798e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.21524639215798e-05×40589641000000     		ar = 540374.908377633m²