Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13843 / 3634
↖ ↑ ↗
← N 80.084570°
W 27.916260°		 ← 210.36 m → N 80.084570°
W 27.905273°		 →
↑
210.37 m
↓
↑
210.37 m
↓
N 80.082678°
W 27.916260°		 ← 210.40 m →
44 258 m²		 N 80.082678°
W 27.905273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422470092773438 y=0.110916137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422470092773438 × 215)
    floor (0.422470092773438 × 32768)
    floor (13843.5)     		tx = 13843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110916137695312 × 215)
    floor (0.110916137695312 × 32768)
    floor (3634.5)     		ty = 3634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13843 / 3634 ti = "15/13843/3634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13843/3634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13843 ÷ 215
    13843 ÷ 32768     		x = 0.422454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3634 ÷ 215
    3634 ÷ 32768     		y = 0.11090087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.15509033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48723065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11090087890625 × 2 - 1) × π
    0.7781982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44478188062286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48723065} λ = -0.48723065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44478188062286))-π/2
    2×atan(11.5280348368114)-π/2
    2×1.48426787306722-π/2
    2.96853574613443-1.57079632675     		φ = 1.39773942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48723065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.916260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39773942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.084570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13843 KachelY 3634 -0.48723065 1.39773942 -27.916260 80.084570
    Oben rechts KachelX + 1 13844 KachelY 3634 -0.48703890 1.39773942 -27.905273 80.084570
    Unten links KachelX 13843 KachelY + 1 3635 -0.48723065 1.39770640 -27.916260 80.082678
    Unten rechts KachelX + 1 13844 KachelY + 1 3635 -0.48703890 1.39770640 -27.905273 80.082678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39773942-1.39770640) × R
    3.30200000000502e-05 × 6371000     		dl = 210.37042000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39773942-1.39770640) × R
    3.30200000000502e-05 × 6371000     		dr = 210.37042000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48723065--0.48703890) × cos(1.39773942) × R
    0.000191749999999991 × 0.172194394668803 × 6371000     		do = 210.35943115739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48723065--0.48703890) × cos(1.39770640) × R
    0.000191749999999991 × 0.172226921354789 × 6371000     		du = 210.399167033663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39773942)-sin(1.39770640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172194394668803-0.172226921354789)×R²
    abs(-0.48703890--0.48723065)×3.2526685986356e-05×R²
    0.000191749999999991×3.2526685986356e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.2526685986356e-05×40589641000000     		ar = 44257.5815136727m²