Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13842 / 3621
↖ ↑ ↗
← N 80.109133°
W 27.927246°		 ← 209.84 m → N 80.109133°
W 27.916260°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
N 80.107246°
W 27.927246°		 ← 209.88 m →
44 042 m²		 N 80.107246°
W 27.916260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422439575195312 y=0.110519409179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422439575195312 × 215)
    floor (0.422439575195312 × 32768)
    floor (13842.5)     		tx = 13842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110519409179688 × 215)
    floor (0.110519409179688 × 32768)
    floor (3621.5)     		ty = 3621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13842 / 3621 ti = "15/13842/3621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13842/3621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13842 ÷ 215
    13842 ÷ 32768     		x = 0.42242431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3621 ÷ 215
    3621 ÷ 32768     		y = 0.110504150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42242431640625 × 2 - 1) × π
    -0.1551513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48742240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110504150390625 × 2 - 1) × π
    0.77899169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44727459940311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48742240} λ = -0.48742240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44727459940311))-π/2
    2×atan(11.5568068310955)-π/2
    2×1.4844822258844-π/2
    2.96896445176881-1.57079632675     		φ = 1.39816813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48742240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.927246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39816813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.109133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13842 KachelY 3621 -0.48742240 1.39816813 -27.927246 80.109133
    Oben rechts KachelX + 1 13843 KachelY 3621 -0.48723065 1.39816813 -27.916260 80.109133
    Unten links KachelX 13842 KachelY + 1 3622 -0.48742240 1.39813519 -27.927246 80.107246
    Unten rechts KachelX + 1 13843 KachelY + 1 3622 -0.48723065 1.39813519 -27.916260 80.107246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39816813-1.39813519) × R
    3.29399999998703e-05 × 6371000     		dl = 209.860739999174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39816813-1.39813519) × R
    3.29399999998703e-05 × 6371000     		dr = 209.860739999174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48742240--0.48723065) × cos(1.39816813) × R
    0.000191749999999991 × 0.171772072504129 × 6371000     		do = 209.84350582488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48742240--0.48723065) × cos(1.39813519) × R
    0.000191749999999991 × 0.171804522814457 × 6371000     		du = 209.883148397651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39816813)-sin(1.39813519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171772072504129-0.171804522814457)×R²
    abs(-0.48723065--0.48742240)×3.24503103275309e-05×R²
    0.000191749999999991×3.24503103275309e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.24503103275309e-05×40589641000000     		ar = 44042.0731308812m²