Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13841 / 3626
↖ ↑ ↗
← N 80.099692°
W 27.938232°		 ← 210.03 m → N 80.099692°
W 27.927246°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
N 80.097803°
W 27.938232°		 ← 210.07 m →
44 122 m²		 N 80.097803°
W 27.927246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422409057617188 y=0.110671997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422409057617188 × 215)
    floor (0.422409057617188 × 32768)
    floor (13841.5)     		tx = 13841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110671997070312 × 215)
    floor (0.110671997070312 × 32768)
    floor (3626.5)     		ty = 3626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13841 / 3626 ti = "15/13841/3626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13841/3626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13841 ÷ 215
    13841 ÷ 32768     		x = 0.422393798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3626 ÷ 215
    3626 ÷ 32768     		y = 0.11065673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422393798828125 × 2 - 1) × π
    -0.15521240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48761414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11065673828125 × 2 - 1) × π
    0.7786865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44631586141071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48761414} λ = -0.48761414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44631586141071))-π/2
    2×atan(11.5457321910031)-π/2
    2×1.48439984477857-π/2
    2.96879968955715-1.57079632675     		φ = 1.39800336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48761414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.938232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39800336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.099692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13841 KachelY 3626 -0.48761414 1.39800336 -27.938232 80.099692
    Oben rechts KachelX + 1 13842 KachelY 3626 -0.48742240 1.39800336 -27.927246 80.099692
    Unten links KachelX 13841 KachelY + 1 3627 -0.48761414 1.39797039 -27.938232 80.097803
    Unten rechts KachelX + 1 13842 KachelY + 1 3627 -0.48742240 1.39797039 -27.927246 80.097803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39800336-1.39797039) × R
    3.296999999991e-05 × 6371000     		dl = 210.051869999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39800336-1.39797039) × R
    3.296999999991e-05 × 6371000     		dr = 210.051869999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48761414--0.48742240) × cos(1.39800336) × R
    0.000191739999999996 × 0.17193439114885 × 6371000     		do = 210.030846712223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48761414--0.48742240) × cos(1.39797039) × R
    0.000191739999999996 × 0.171966870079434 × 6371000     		du = 210.07052217939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39800336)-sin(1.39797039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17193439114885-0.171966870079434)×R²
    abs(-0.48742240--0.48761414)×3.24789305840845e-05×R²
    0.000191739999999996×3.24789305840845e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.24789305840845e-05×40589641000000     		ar = 44121.5390664229m²