Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13840 / 11792
↖ ↑ ↗
← N 74.752746°
W103.974609°		 ← 160.63 m → N 74.752746°
W103.969116°		 →
↑
160.68 m
↓
↑
160.68 m
↓
N 74.751301°
W103.974609°		 ← 160.64 m →
25 810 m²		 N 74.751301°
W103.969116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211189270019531 y=0.179939270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211189270019531 × 216)
    floor (0.211189270019531 × 65536)
    floor (13840.5)     		tx = 13840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179939270019531 × 216)
    floor (0.179939270019531 × 65536)
    floor (11792.5)     		ty = 11792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13840 / 11792 ti = "16/13840/11792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13840/11792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13840 ÷ 216
    13840 ÷ 65536     		x = 0.211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11792 ÷ 216
    11792 ÷ 65536     		y = 0.179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211181640625 × 2 - 1) × π
    -0.57763671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.81469927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179931640625 × 2 - 1) × π
    0.64013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.0110488128606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81469927} λ = -1.81469927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0110488128606))-π/2
    2×atan(7.47114907682717)-π/2
    2×1.437738936345-π/2
    2.87547787268999-1.57079632675     		φ = 1.30468155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81469927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.974609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30468155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.752746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13840 KachelY 11792 -1.81469927 1.30468155 -103.974609 74.752746
    Oben rechts KachelX + 1 13841 KachelY 11792 -1.81460340 1.30468155 -103.969116 74.752746
    Unten links KachelX 13840 KachelY + 1 11793 -1.81469927 1.30465633 -103.974609 74.751301
    Unten rechts KachelX + 1 13841 KachelY + 1 11793 -1.81460340 1.30465633 -103.969116 74.751301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30468155-1.30465633) × R
    2.5219999999937e-05 × 6371000     		dl = 160.676619999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30468155-1.30465633) × R
    2.5219999999937e-05 × 6371000     		dr = 160.676619999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81469927--1.81460340) × cos(1.30468155) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.262984967910719 × 6371000     		do = 160.628002093706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81469927--1.81460340) × cos(1.30465633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.263009300081338 × 6371000     		du = 160.642863885938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30468155)-sin(1.30465633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262984967910719-0.263009300081338)×R²
    abs(-1.81460340--1.81469927)×2.43321706189237e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.43321706189237e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.43321706189237e-05×40589641000000     		ar = 25810.3584264005m²