Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1384 / 840
↖ ↑ ↗
← N 80.589727°
W119.179688°		 ← 798.96 m → N 80.589727°
W119.135742°		 →
↑
799.24 m
↓
↑
799.24 m
↓
N 80.582539°
W119.179688°		 ← 799.56 m →
638 800 m²		 N 80.582539°
W119.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16900634765625 y=0.10260009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16900634765625 × 213)
    floor (0.16900634765625 × 8192)
    floor (1384.5)     		tx = 1384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10260009765625 × 213)
    floor (0.10260009765625 × 8192)
    floor (840.5)     		ty = 840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1384 / 840 ti = "13/1384/840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1384/840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1384 ÷ 213
    1384 ÷ 8192     		x = 0.1689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 840 ÷ 213
    840 ÷ 8192     		y = 0.1025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1689453125 × 2 - 1) × π
    -0.662109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.08007795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1025390625 × 2 - 1) × π
    0.794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49732072260645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08007795} λ = -2.08007795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49732072260645))-π/2
    2×atan(12.1498973671951)-π/2
    2×1.48867620234983-π/2
    2.97735240469966-1.57079632675     		φ = 1.40655608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08007795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.179688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40655608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.589727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1384 KachelY 840 -2.08007795 1.40655608 -119.179688 80.589727
    Oben rechts KachelX + 1 1385 KachelY 840 -2.07931096 1.40655608 -119.135742 80.589727
    Unten links KachelX 1384 KachelY + 1 841 -2.08007795 1.40643063 -119.179688 80.582539
    Unten rechts KachelX + 1 1385 KachelY + 1 841 -2.07931096 1.40643063 -119.135742 80.582539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40655608-1.40643063) × R
    0.000125450000000082 × 6371000     		dl = 799.241950000525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40655608-1.40643063) × R
    0.000125450000000082 × 6371000     		dr = 799.241950000525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08007795--2.07931096) × cos(1.40655608) × R
    0.000766990000000245 × 0.163502849150264 × 6371000     		do = 798.955575268904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08007795--2.07931096) × cos(1.40643063) × R
    0.000766990000000245 × 0.163626609665383 × 6371000     		du = 799.560330195597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40655608)-sin(1.40643063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163502849150264-0.163626609665383)×R²
    abs(-2.07931096--2.08007795)×0.000123760515118282×R²
    0.000766990000000245×0.000123760515118282×6371000²
    0.000766990000000245×0.000123760515118282×40589641000000     		ar = 638800.485531238m²