Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13839 / 36366
↖ ↑ ↗
← N 62.250024°
W141.990051°		 ← 142.21 m → N 62.250024°
W141.987305°		 →
↑
142.20 m
↓
↑
142.20 m
↓
N 62.248745°
W141.990051°		 ← 142.22 m →
20 223 m²		 N 62.248745°
W141.987305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.105587005615234 y=0.277454376220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.105587005615234 × 217)
    floor (0.105587005615234 × 131072)
    floor (13839.5)     		tx = 13839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277454376220703 × 217)
    floor (0.277454376220703 × 131072)
    floor (36366.5)     		ty = 36366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13839 / 36366 ti = "17/13839/36366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13839/36366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13839 ÷ 217
    13839 ÷ 131072     		x = 0.105583190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36366 ÷ 217
    36366 ÷ 131072     		y = 0.277450561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.105583190917969 × 2 - 1) × π
    -0.788833618164062 × 3.1415926535     		Λ = -2.47819390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277450561523438 × 2 - 1) × π
    0.445098876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39831936191704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47819390} λ = -2.47819390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39831936191704))-π/2
    2×atan(4.04839036718546)-π/2
    2×1.32863210321888-π/2
    2.65726420643776-1.57079632675     		φ = 1.08646788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47819390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.990051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08646788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.250024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13839 KachelY 36366 -2.47819390 1.08646788 -141.990051 62.250024
    Oben rechts KachelX + 1 13840 KachelY 36366 -2.47814596 1.08646788 -141.987305 62.250024
    Unten links KachelX 13839 KachelY + 1 36367 -2.47819390 1.08644556 -141.990051 62.248745
    Unten rechts KachelX + 1 13840 KachelY + 1 36367 -2.47814596 1.08644556 -141.987305 62.248745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08646788-1.08644556) × R
    2.23200000000201e-05 × 6371000     		dl = 142.200720000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08646788-1.08644556) × R
    2.23200000000201e-05 × 6371000     		dr = 142.200720000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47819390--2.47814596) × cos(1.08646788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465614148069596 × 6371000     		do = 142.210545728533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47819390--2.47814596) × cos(1.08644556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465633900882054 × 6371000     		du = 142.216578745895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08646788)-sin(1.08644556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465614148069596-0.465633900882054)×R²
    abs(-2.47814596--2.47819390)×1.97528124576407e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97528124576407e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97528124576407e-05×40589641000000     		ar = 20222.8709446184m²