Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13836 / 10781
↖ ↑ ↗
← N 76.146905°
W103.996582°		 ← 146.26 m → N 76.146905°
W103.991089°		 →
↑
146.21 m
↓
↑
146.21 m
↓
N 76.145590°
W103.996582°		 ← 146.27 m →
21 386 m²		 N 76.145590°
W103.991089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211128234863281 y=0.164512634277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211128234863281 × 216)
    floor (0.211128234863281 × 65536)
    floor (13836.5)     		tx = 13836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164512634277344 × 216)
    floor (0.164512634277344 × 65536)
    floor (10781.5)     		ty = 10781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13836 / 10781 ti = "16/13836/10781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13836/10781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13836 ÷ 216
    13836 ÷ 65536     		x = 0.21112060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10781 ÷ 216
    10781 ÷ 65536     		y = 0.164505004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21112060546875 × 2 - 1) × π
    -0.5777587890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.81508277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164505004882812 × 2 - 1) × π
    0.670989990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10797722389235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81508277} λ = -1.81508277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10797722389235))-π/2
    2×atan(8.23157380220168)-π/2
    2×1.44990526497758-π/2
    2.89981052995517-1.57079632675     		φ = 1.32901420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81508277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.996582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32901420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.146905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13836 KachelY 10781 -1.81508277 1.32901420 -103.996582 76.146905
    Oben rechts KachelX + 1 13837 KachelY 10781 -1.81498689 1.32901420 -103.991089 76.146905
    Unten links KachelX 13836 KachelY + 1 10782 -1.81508277 1.32899125 -103.996582 76.145590
    Unten rechts KachelX + 1 13837 KachelY + 1 10782 -1.81498689 1.32899125 -103.991089 76.145590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32901420-1.32899125) × R
    2.29499999999661e-05 × 6371000     		dl = 146.214449999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32901420-1.32899125) × R
    2.29499999999661e-05 × 6371000     		dr = 146.214449999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81508277--1.81498689) × cos(1.32901420) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.239433295473917 × 6371000     		do = 146.258182901762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81508277--1.81498689) × cos(1.32899125) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.239455577859996 × 6371000     		du = 146.271794130277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32901420)-sin(1.32899125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239433295473917-0.239455577859996)×R²
    abs(-1.81498689--1.81508277)×2.22823860789589e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.22823860789589e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.22823860789589e-05×40589641000000     		ar = 21386.0548510376m²