Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13833 / 4713
↖ ↑ ↗
← N 77.821006°
W 28.026123°		 ← 257.71 m → N 77.821006°
W 28.015137°		 →
↑
257.77 m
↓
↑
257.77 m
↓
N 77.818688°
W 28.026123°		 ← 257.76 m →
66 437 m²		 N 77.818688°
W 28.015137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422164916992188 y=0.143844604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422164916992188 × 215)
    floor (0.422164916992188 × 32768)
    floor (13833.5)     		tx = 13833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143844604492188 × 215)
    floor (0.143844604492188 × 32768)
    floor (4713.5)     		ty = 4713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13833 / 4713 ti = "15/13833/4713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13833/4713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13833 ÷ 215
    13833 ÷ 32768     		x = 0.422149658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4713 ÷ 215
    4713 ÷ 32768     		y = 0.143829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422149658203125 × 2 - 1) × π
    -0.15570068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48914812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143829345703125 × 2 - 1) × π
    0.71234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2378862218627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48914812} λ = -0.48914812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2378862218627))-π/2
    2×atan(9.3734968393275)-π/2
    2×1.46451455099527-π/2
    2.92902910199054-1.57079632675     		φ = 1.35823278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48914812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.026123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35823278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.821006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13833 KachelY 4713 -0.48914812 1.35823278 -28.026123 77.821006
    Oben rechts KachelX + 1 13834 KachelY 4713 -0.48895638 1.35823278 -28.015137 77.821006
    Unten links KachelX 13833 KachelY + 1 4714 -0.48914812 1.35819232 -28.026123 77.818688
    Unten rechts KachelX + 1 13834 KachelY + 1 4714 -0.48895638 1.35819232 -28.015137 77.818688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35823278-1.35819232) × R
    4.04600000001309e-05 × 6371000     		dl = 257.770660000834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35823278-1.35819232) × R
    4.04600000001309e-05 × 6371000     		dr = 257.770660000834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48914812--0.48895638) × cos(1.35823278) × R
    0.000191739999999996 × 0.210966440141587 × 6371000     		do = 257.711443037831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48914812--0.48895638) × cos(1.35819232) × R
    0.000191739999999996 × 0.211005989348016 × 6371000     		du = 257.759755381031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35823278)-sin(1.35819232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210966440141587-0.211005989348016)×R²
    abs(-0.48895638--0.48914812)×3.95492064285408e-05×R²
    0.000191739999999996×3.95492064285408e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.95492064285408e-05×40589641000000     		ar = 66436.6755228206m²