Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13833 / 4706
↖ ↑ ↗
← N 77.837219°
W 28.026123°		 ← 257.37 m → N 77.837219°
W 28.015137°		 →
↑
257.45 m
↓
↑
257.45 m
↓
N 77.834904°
W 28.026123°		 ← 257.42 m →
66 268 m²		 N 77.834904°
W 28.015137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422164916992188 y=0.143630981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422164916992188 × 215)
    floor (0.422164916992188 × 32768)
    floor (13833.5)     		tx = 13833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143630981445312 × 215)
    floor (0.143630981445312 × 32768)
    floor (4706.5)     		ty = 4706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13833 / 4706 ti = "15/13833/4706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13833/4706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13833 ÷ 215
    13833 ÷ 32768     		x = 0.422149658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4706 ÷ 215
    4706 ÷ 32768     		y = 0.14361572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422149658203125 × 2 - 1) × π
    -0.15570068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48914812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14361572265625 × 2 - 1) × π
    0.7127685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23922845505206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48914812} λ = -0.48914812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23922845505206))-π/2
    2×atan(9.38608670526343)-π/2
    2×1.46465604123584-π/2
    2.92931208247169-1.57079632675     		φ = 1.35851576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48914812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.026123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35851576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.837219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13833 KachelY 4706 -0.48914812 1.35851576 -28.026123 77.837219
    Oben rechts KachelX + 1 13834 KachelY 4706 -0.48895638 1.35851576 -28.015137 77.837219
    Unten links KachelX 13833 KachelY + 1 4707 -0.48914812 1.35847535 -28.026123 77.834904
    Unten rechts KachelX + 1 13834 KachelY + 1 4707 -0.48895638 1.35847535 -28.015137 77.834904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35851576-1.35847535) × R
    4.04099999999907e-05 × 6371000     		dl = 257.452109999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35851576-1.35847535) × R
    4.04099999999907e-05 × 6371000     		dr = 257.452109999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48914812--0.48895638) × cos(1.35851576) × R
    0.000191739999999996 × 0.210689820643005 × 6371000     		do = 257.373531424477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48914812--0.48895638) × cos(1.35847535) × R
    0.000191739999999996 × 0.210729323386287 × 6371000     		du = 257.421787009433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35851576)-sin(1.35847535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210689820643005-0.210729323386287)×R²
    abs(-0.48895638--0.48914812)×3.95027432820161e-05×R²
    0.000191739999999996×3.95027432820161e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.95027432820161e-05×40589641000000     		ar = 66267.5704833729m²