Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13831 / 4625
↖ ↑ ↗
← N 78.023294°
W 28.048096°		 ← 253.51 m → N 78.023294°
W 28.037109°		 →
↑
253.50 m
↓
↑
253.50 m
↓
N 78.021014°
W 28.048096°		 ← 253.55 m →
64 271 m²		 N 78.021014°
W 28.037109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422103881835938 y=0.141159057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422103881835938 × 215)
    floor (0.422103881835938 × 32768)
    floor (13831.5)     		tx = 13831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141159057617188 × 215)
    floor (0.141159057617188 × 32768)
    floor (4625.5)     		ty = 4625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13831 / 4625 ti = "15/13831/4625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13831/4625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13831 ÷ 215
    13831 ÷ 32768     		x = 0.422088623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4625 ÷ 215
    4625 ÷ 32768     		y = 0.141143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422088623046875 × 2 - 1) × π
    -0.15582275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48953162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141143798828125 × 2 - 1) × π
    0.71771240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25476001052896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48953162} λ = -0.48953162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25476001052896))-π/2
    2×atan(9.53300521471945)-π/2
    2×1.46627985042611-π/2
    2.93255970085223-1.57079632675     		φ = 1.36176337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48953162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.048096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36176337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.023294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13831 KachelY 4625 -0.48953162 1.36176337 -28.048096 78.023294
    Oben rechts KachelX + 1 13832 KachelY 4625 -0.48933987 1.36176337 -28.037109 78.023294
    Unten links KachelX 13831 KachelY + 1 4626 -0.48953162 1.36172358 -28.048096 78.021014
    Unten rechts KachelX + 1 13832 KachelY + 1 4626 -0.48933987 1.36172358 -28.037109 78.021014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36176337-1.36172358) × R
    3.9789999999984e-05 × 6371000     		dl = 253.502089999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36176337-1.36172358) × R
    3.9789999999984e-05 × 6371000     		dr = 253.502089999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48953162--0.48933987) × cos(1.36176337) × R
    0.000191749999999991 × 0.207514004370067 × 6371000     		do = 253.507252663133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48953162--0.48933987) × cos(1.36172358) × R
    0.000191749999999991 × 0.207552928058939 × 6371000     		du = 253.554803369213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36176337)-sin(1.36172358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207514004370067-0.207552928058939)×R²
    abs(-0.48933987--0.48953162)×3.89236888714839e-05×R²
    0.000191749999999991×3.89236888714839e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.89236888714839e-05×40589641000000     		ar = 64270.6454900908m²