Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13829 / 4709
↖ ↑ ↗
← N 77.830273°
W 28.070068°		 ← 257.52 m → N 77.830273°
W 28.059082°		 →
↑
257.52 m
↓
↑
257.52 m
↓
N 77.827957°
W 28.070068°		 ← 257.57 m →
66 321 m²		 N 77.827957°
W 28.059082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422042846679688 y=0.143722534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422042846679688 × 215)
    floor (0.422042846679688 × 32768)
    floor (13829.5)     		tx = 13829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143722534179688 × 215)
    floor (0.143722534179688 × 32768)
    floor (4709.5)     		ty = 4709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13829 / 4709 ti = "15/13829/4709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13829/4709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13829 ÷ 215
    13829 ÷ 32768     		x = 0.422027587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4709 ÷ 215
    4709 ÷ 32768     		y = 0.143707275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422027587890625 × 2 - 1) × π
    -0.15594482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48991511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143707275390625 × 2 - 1) × π
    0.71258544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23865321225662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48991511} λ = -0.48991511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23865321225662))-π/2
    2×atan(9.38068897915921)-π/2
    2×1.46459542529258-π/2
    2.92919085058517-1.57079632675     		φ = 1.35839452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48991511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.070068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35839452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.830273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13829 KachelY 4709 -0.48991511 1.35839452 -28.070068 77.830273
    Oben rechts KachelX + 1 13830 KachelY 4709 -0.48972337 1.35839452 -28.059082 77.830273
    Unten links KachelX 13829 KachelY + 1 4710 -0.48991511 1.35835410 -28.070068 77.827957
    Unten rechts KachelX + 1 13830 KachelY + 1 4710 -0.48972337 1.35835410 -28.059082 77.827957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35839452-1.35835410) × R
    4.0420000000152e-05 × 6371000     		dl = 257.515820000968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35839452-1.35835410) × R
    4.0420000000152e-05 × 6371000     		dr = 257.515820000968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48991511--0.48972337) × cos(1.35839452) × R
    0.000191739999999996 × 0.210808337615718 × 6371000     		do = 257.518308859418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48991511--0.48972337) × cos(1.35835410) × R
    0.000191739999999996 × 0.210847849101568 × 6371000     		du = 257.566575124081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35839452)-sin(1.35835410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210808337615718-0.210847849101568)×R²
    abs(-0.48972337--0.48991511)×3.95114858496304e-05×R²
    0.000191739999999996×3.95114858496304e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.95114858496304e-05×40589641000000     		ar = 66321.2531436426m²