Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13828 / 4613
↖ ↑ ↗
← N 82.305216°
W104.040527°		 ← 81.79 m → N 82.305216°
W104.035034°		 →
↑
81.80 m
↓
↑
81.80 m
↓
N 82.304480°
W104.040527°		 ← 81.80 m →
6 691 m²		 N 82.304480°
W104.035034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211006164550781 y=0.0703964233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211006164550781 × 216)
    floor (0.211006164550781 × 65536)
    floor (13828.5)     		tx = 13828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0703964233398438 × 216)
    floor (0.0703964233398438 × 65536)
    floor (4613.5)     		ty = 4613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13828 / 4613 ti = "16/13828/4613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13828/4613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13828 ÷ 216
    13828 ÷ 65536     		x = 0.21099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4613 ÷ 216
    4613 ÷ 65536     		y = 0.0703887939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21099853515625 × 2 - 1) × π
    -0.5780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.81584976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0703887939453125 × 2 - 1) × π
    0.859222412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69932681760536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81584976} λ = -1.81584976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69932681760536))-π/2
    2×atan(14.86971832224)-π/2
    2×1.50364666728155-π/2
    3.0072933345631-1.57079632675     		φ = 1.43649701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81584976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.040527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43649701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.305216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13828 KachelY 4613 -1.81584976 1.43649701 -104.040527 82.305216
    Oben rechts KachelX + 1 13829 KachelY 4613 -1.81575388 1.43649701 -104.035034 82.305216
    Unten links KachelX 13828 KachelY + 1 4614 -1.81584976 1.43648417 -104.040527 82.304480
    Unten rechts KachelX + 1 13829 KachelY + 1 4614 -1.81575388 1.43648417 -104.035034 82.304480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43649701-1.43648417) × R
    1.2840000000125e-05 × 6371000     		dl = 81.8036400007962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43649701-1.43648417) × R
    1.2840000000125e-05 × 6371000     		dr = 81.8036400007962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81584976--1.81575388) × cos(1.43649701) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.133895970104448 × 6371000     		do = 81.7905515044736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81584976--1.81575388) × cos(1.43648417) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.133908694474258 × 6371000     		du = 81.7983242046041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43649701)-sin(1.43648417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133895970104448-0.133908694474258)×R²
    abs(-1.81575388--1.81584976)×1.27243698100354e-05×R²
    9.58800000001592e-05×1.27243698100354e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×1.27243698100354e-05×40589641000000     		ar = 6691.08274832209m²