Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13827 / 4709
↖ ↑ ↗
← N 77.830273°
W 28.092041°		 ← 257.53 m → N 77.830273°
W 28.081055°		 →
↑
257.52 m
↓
↑
257.52 m
↓
N 77.827957°
W 28.092041°		 ← 257.58 m →
66 325 m²		 N 77.827957°
W 28.081055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421981811523438 y=0.143722534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421981811523438 × 215)
    floor (0.421981811523438 × 32768)
    floor (13827.5)     		tx = 13827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143722534179688 × 215)
    floor (0.143722534179688 × 32768)
    floor (4709.5)     		ty = 4709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13827 / 4709 ti = "15/13827/4709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13827/4709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13827 ÷ 215
    13827 ÷ 32768     		x = 0.421966552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4709 ÷ 215
    4709 ÷ 32768     		y = 0.143707275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421966552734375 × 2 - 1) × π
    -0.15606689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49029861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143707275390625 × 2 - 1) × π
    0.71258544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23865321225662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49029861} λ = -0.49029861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23865321225662))-π/2
    2×atan(9.38068897915921)-π/2
    2×1.46459542529258-π/2
    2.92919085058517-1.57079632675     		φ = 1.35839452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49029861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.092041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35839452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.830273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13827 KachelY 4709 -0.49029861 1.35839452 -28.092041 77.830273
    Oben rechts KachelX + 1 13828 KachelY 4709 -0.49010686 1.35839452 -28.081055 77.830273
    Unten links KachelX 13827 KachelY + 1 4710 -0.49029861 1.35835410 -28.092041 77.827957
    Unten rechts KachelX + 1 13828 KachelY + 1 4710 -0.49010686 1.35835410 -28.081055 77.827957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35839452-1.35835410) × R
    4.0420000000152e-05 × 6371000     		dl = 257.515820000968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35839452-1.35835410) × R
    4.0420000000152e-05 × 6371000     		dr = 257.515820000968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49029861--0.49010686) × cos(1.35839452) × R
    0.000191750000000046 × 0.210808337615718 × 6371000     		do = 257.531739458675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49029861--0.49010686) × cos(1.35835410) × R
    0.000191750000000046 × 0.210847849101568 × 6371000     		du = 257.580008240614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35839452)-sin(1.35835410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210808337615718-0.210847849101568)×R²
    abs(-0.49010686--0.49029861)×3.95114858496304e-05×R²
    0.000191750000000046×3.95114858496304e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.95114858496304e-05×40589641000000     		ar = 66324.7120595432m²