Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13827 / 35327
↖ ↑ ↗
← N 63.549775°
W142.023010°		 ← 136.01 m → N 63.549775°
W142.020264°		 →
↑
136.02 m
↓
↑
136.02 m
↓
N 63.548552°
W142.023010°		 ← 136.02 m →
18 501 m²		 N 63.548552°
W142.020264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.105495452880859 y=0.269527435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.105495452880859 × 217)
    floor (0.105495452880859 × 131072)
    floor (13827.5)     		tx = 13827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269527435302734 × 217)
    floor (0.269527435302734 × 131072)
    floor (35327.5)     		ty = 35327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13827 / 35327 ti = "17/13827/35327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13827/35327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13827 ÷ 217
    13827 ÷ 131072     		x = 0.105491638183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35327 ÷ 217
    35327 ÷ 131072     		y = 0.269523620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.105491638183594 × 2 - 1) × π
    -0.789016723632812 × 3.1415926535     		Λ = -2.47876914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269523620605469 × 2 - 1) × π
    0.460952758789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.44812580062228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47876914} λ = -2.47876914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44812580062228))-π/2
    2×atan(4.25513207127962)-π/2
    2×1.33997457531068-π/2
    2.67994915062135-1.57079632675     		φ = 1.10915282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47876914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.023010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10915282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.549775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13827 KachelY 35327 -2.47876914 1.10915282 -142.023010 63.549775
    Oben rechts KachelX + 1 13828 KachelY 35327 -2.47872121 1.10915282 -142.020264 63.549775
    Unten links KachelX 13827 KachelY + 1 35328 -2.47876914 1.10913147 -142.023010 63.548552
    Unten rechts KachelX + 1 13828 KachelY + 1 35328 -2.47872121 1.10913147 -142.020264 63.548552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10915282-1.10913147) × R
    2.13500000001421e-05 × 6371000     		dl = 136.020850000905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10915282-1.10913147) × R
    2.13500000001421e-05 × 6371000     		dr = 136.020850000905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47876914--2.47872121) × cos(1.10915282) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445420175093594 × 6371000     		do = 136.014408869619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47876914--2.47872121) × cos(1.10913147) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445439290109431 × 6371000     		du = 136.020245869658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10915282)-sin(1.10913147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445420175093594-0.445439290109431)×R²
    abs(-2.47872121--2.47876914)×1.91150158370124e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91150158370124e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91150158370124e-05×40589641000000     		ar = 18501.1924845143m²