Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13827 / 35326
↖ ↑ ↗
← N 63.550999°
W142.023010°		 ← 136.01 m → N 63.550999°
W142.020264°		 →
↑
136.08 m
↓
↑
136.08 m
↓
N 63.549775°
W142.023010°		 ← 136.01 m →
18 509 m²		 N 63.549775°
W142.020264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.105495452880859 y=0.269519805908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.105495452880859 × 217)
    floor (0.105495452880859 × 131072)
    floor (13827.5)     		tx = 13827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269519805908203 × 217)
    floor (0.269519805908203 × 131072)
    floor (35326.5)     		ty = 35326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13827 / 35326 ti = "17/13827/35326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13827/35326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13827 ÷ 217
    13827 ÷ 131072     		x = 0.105491638183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35326 ÷ 217
    35326 ÷ 131072     		y = 0.269515991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.105491638183594 × 2 - 1) × π
    -0.789016723632812 × 3.1415926535     		Λ = -2.47876914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269515991210938 × 2 - 1) × π
    0.460968017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4481737375219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47876914} λ = -2.47876914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4481737375219))-π/2
    2×atan(4.2553360540077)-π/2
    2×1.33998525111261-π/2
    2.67997050222521-1.57079632675     		φ = 1.10917418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47876914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.023010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10917418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.550999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13827 KachelY 35326 -2.47876914 1.10917418 -142.023010 63.550999
    Oben rechts KachelX + 1 13828 KachelY 35326 -2.47872121 1.10917418 -142.020264 63.550999
    Unten links KachelX 13827 KachelY + 1 35327 -2.47876914 1.10915282 -142.023010 63.549775
    Unten rechts KachelX + 1 13828 KachelY + 1 35327 -2.47872121 1.10915282 -142.020264 63.549775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10917418-1.10915282) × R
    2.13599999998593e-05 × 6371000     		dl = 136.084559999103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10917418-1.10915282) × R
    2.13599999998593e-05 × 6371000     		dr = 136.084559999103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47876914--2.47872121) × cos(1.10917418) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445401050921413 × 6371000     		do = 136.008569073579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47876914--2.47872121) × cos(1.10915282) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445420175093594 × 6371000     		du = 136.014408869619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10917418)-sin(1.10915282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445401050921413-0.445420175093594)×R²
    abs(-2.47872121--2.47876914)×1.91241721809732e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91241721809732e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91241721809732e-05×40589641000000     		ar = 18509.0636322527m²