Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13826 / 4464
↖ ↑ ↗
← N 78.384855°
W 28.103028°		 ← 245.96 m → N 78.384855°
W 28.092041°		 →
↑
245.98 m
↓
↑
245.98 m
↓
N 78.382643°
W 28.103028°		 ← 246.01 m →
60 508 m²		 N 78.382643°
W 28.092041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421951293945312 y=0.136245727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421951293945312 × 215)
    floor (0.421951293945312 × 32768)
    floor (13826.5)     		tx = 13826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136245727539062 × 215)
    floor (0.136245727539062 × 32768)
    floor (4464.5)     		ty = 4464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13826 / 4464 ti = "15/13826/4464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13826/4464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13826 ÷ 215
    13826 ÷ 32768     		x = 0.42193603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4464 ÷ 215
    4464 ÷ 32768     		y = 0.13623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42193603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1561279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49049036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13623046875 × 2 - 1) × π
    0.7275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28563137388428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49049036} λ = -0.49049036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28563137388428))-π/2
    2×atan(9.83189186452784)-π/2
    2×1.46943506651837-π/2
    2.93887013303673-1.57079632675     		φ = 1.36807381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49049036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.103028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36807381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.384855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13826 KachelY 4464 -0.49049036 1.36807381 -28.103028 78.384855
    Oben rechts KachelX + 1 13827 KachelY 4464 -0.49029861 1.36807381 -28.092041 78.384855
    Unten links KachelX 13826 KachelY + 1 4465 -0.49049036 1.36803520 -28.103028 78.382643
    Unten rechts KachelX + 1 13827 KachelY + 1 4465 -0.49029861 1.36803520 -28.092041 78.382643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36807381-1.36803520) × R
    3.861000000005e-05 × 6371000     		dl = 245.984310000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36807381-1.36803520) × R
    3.861000000005e-05 × 6371000     		dr = 245.984310000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49049036--0.49029861) × cos(1.36807381) × R
    0.000191749999999991 × 0.201336838939343 × 6371000     		do = 245.960984919218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49049036--0.49029861) × cos(1.36803520) × R
    0.000191749999999991 × 0.201374658136223 × 6371000     		du = 246.007186334529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36807381)-sin(1.36803520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201336838939343-0.201374658136223)×R²
    abs(-0.49029861--0.49049036)×3.78191968795072e-05×R²
    0.000191749999999991×3.78191968795072e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.78191968795072e-05×40589641000000     		ar = 60508.2255819083m²