Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13825 / 11777
↖ ↑ ↗
← N 74.774400°
W104.057007°		 ← 160.41 m → N 74.774400°
W104.051514°		 →
↑
160.42 m
↓
↑
160.42 m
↓
N 74.772958°
W104.057007°		 ← 160.42 m →
25 734 m²		 N 74.772958°
W104.051514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210960388183594 y=0.179710388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210960388183594 × 216)
    floor (0.210960388183594 × 65536)
    floor (13825.5)     		tx = 13825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179710388183594 × 216)
    floor (0.179710388183594 × 65536)
    floor (11777.5)     		ty = 11777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13825 / 11777 ti = "16/13825/11777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13825/11777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13825 ÷ 216
    13825 ÷ 65536     		x = 0.210952758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11777 ÷ 216
    11777 ÷ 65536     		y = 0.179702758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.210952758789062 × 2 - 1) × π
    -0.578094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.81613738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179702758789062 × 2 - 1) × π
    0.640594482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.0124869198492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81613738} λ = -1.81613738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0124869198492))-π/2
    2×atan(7.48190111796712)-π/2
    2×1.43792790547718-π/2
    2.87585581095436-1.57079632675     		φ = 1.30505948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81613738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.057007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30505948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.774400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13825 KachelY 11777 -1.81613738 1.30505948 -104.057007 74.774400
    Oben rechts KachelX + 1 13826 KachelY 11777 -1.81604151 1.30505948 -104.051514 74.774400
    Unten links KachelX 13825 KachelY + 1 11778 -1.81613738 1.30503430 -104.057007 74.772958
    Unten rechts KachelX + 1 13826 KachelY + 1 11778 -1.81604151 1.30503430 -104.051514 74.772958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30505948-1.30503430) × R
    2.5179999999958e-05 × 6371000     		dl = 160.421779999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30505948-1.30503430) × R
    2.5179999999958e-05 × 6371000     		dr = 160.421779999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81613738--1.81604151) × cos(1.30505948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.262620322300303 × 6371000     		do = 160.40528101448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81613738--1.81604151) × cos(1.30503430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.262644618380208 × 6371000     		du = 160.420120762945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30505948)-sin(1.30503430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262620322300303-0.262644618380208)×R²
    abs(-1.81604151--1.81613738)×2.42960799053393e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.42960799053393e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.42960799053393e-05×40589641000000     		ar = 25733.6910127345m²