Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 13824 / 35328
↖ ↑ ↗
← N 63.548552°
W142.031250°		 ← 136.02 m → N 63.548552°
W142.028504°		 →
↑
136.02 m
↓
↑
136.02 m
↓
N 63.547329°
W142.031250°		 ← 136.03 m →
18 502 m²		 N 63.547329°
W142.028504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.105472564697266 y=0.269535064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.105472564697266 × 217)
    floor (0.105472564697266 × 131072)
    floor (13824.5)     		tx = 13824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269535064697266 × 217)
    floor (0.269535064697266 × 131072)
    floor (35328.5)     		ty = 35328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13824 / 35328 ti = "17/13824/35328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13824/35328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13824 ÷ 217
    13824 ÷ 131072     		x = 0.10546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35328 ÷ 217
    35328 ÷ 131072     		y = 0.26953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10546875 × 2 - 1) × π
    -0.7890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.47891295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26953125 × 2 - 1) × π
    0.4609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44807786372266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47891295} λ = -2.47891295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44807786372266))-π/2
    2×atan(4.2549280983296)-π/2
    2×1.33996389905054-π/2
    2.67992779810109-1.57079632675     		φ = 1.10913147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47891295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10913147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.548552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13824 KachelY 35328 -2.47891295 1.10913147 -142.031250 63.548552
    Oben rechts KachelX + 1 13825 KachelY 35328 -2.47886502 1.10913147 -142.028504 63.548552
    Unten links KachelX 13824 KachelY + 1 35329 -2.47891295 1.10911012 -142.031250 63.547329
    Unten rechts KachelX + 1 13825 KachelY + 1 35329 -2.47886502 1.10911012 -142.028504 63.547329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10913147-1.10911012) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dl = 136.020849999491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10913147-1.10911012) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dr = 136.020849999491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47891295--2.47886502) × cos(1.10913147) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.445439290109431 × 6371000     		do = 136.020245868398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47891295--2.47886502) × cos(1.10911012) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.445458404922227 × 6371000     		du = 136.026082806436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10913147)-sin(1.10911012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445439290109431-0.445458404922227)×R²
    abs(-2.47886502--2.47891295)×1.91148127955953e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.91148127955953e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.91148127955953e-05×40589641000000     		ar = 18501.9864334385m²