Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13821 / 8707
↖ ↑ ↗
← N 78.626756°
W104.078979°		 ← 120.45 m → N 78.626756°
W104.073486°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
N 78.625673°
W104.078979°		 ← 120.46 m →
14 512 m²		 N 78.625673°
W104.073486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210899353027344 y=0.132865905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210899353027344 × 216)
    floor (0.210899353027344 × 65536)
    floor (13821.5)     		tx = 13821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132865905761719 × 216)
    floor (0.132865905761719 × 65536)
    floor (8707.5)     		ty = 8707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13821 / 8707 ti = "16/13821/8707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13821/8707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13821 ÷ 216
    13821 ÷ 65536     		x = 0.210891723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8707 ÷ 216
    8707 ÷ 65536     		y = 0.132858276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.210891723632812 × 2 - 1) × π
    -0.578216552734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.81652087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132858276367188 × 2 - 1) × π
    0.734283447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30681948351634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81652087} λ = -1.81652087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30681948351634))-π/2
    2×atan(10.0424336822107)-π/2
    2×1.47154605199359-π/2
    2.94309210398718-1.57079632675     		φ = 1.37229578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81652087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.078979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37229578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.626756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13821 KachelY 8707 -1.81652087 1.37229578 -104.078979 78.626756
    Oben rechts KachelX + 1 13822 KachelY 8707 -1.81642500 1.37229578 -104.073486 78.626756
    Unten links KachelX 13821 KachelY + 1 8708 -1.81652087 1.37227687 -104.078979 78.625673
    Unten rechts KachelX + 1 13822 KachelY + 1 8708 -1.81642500 1.37227687 -104.073486 78.625673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37229578-1.37227687) × R
    1.89099999998721e-05 × 6371000     		dl = 120.475609999185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37229578-1.37227687) × R
    1.89099999998721e-05 × 6371000     		dr = 120.475609999185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81652087--1.81642500) × cos(1.37229578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197199544034349 × 6371000     		do = 120.447069745754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81652087--1.81642500) × cos(1.37227687) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197218082670442 × 6371000     		du = 120.458392917952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37229578)-sin(1.37227687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197199544034349-0.197218082670442)×R²
    abs(-1.81642500--1.81652087)×1.85386360924134e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85386360924134e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85386360924134e-05×40589641000000     		ar = 14511.6162835587m²