Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13821 / 8683
↖ ↑ ↗
← N 78.652725°
W104.078979°		 ← 120.18 m → N 78.652725°
W104.073486°		 →
↑
120.22 m
↓
↑
120.22 m
↓
N 78.651644°
W104.078979°		 ← 120.19 m →
14 448 m²		 N 78.651644°
W104.073486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210899353027344 y=0.132499694824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210899353027344 × 216)
    floor (0.210899353027344 × 65536)
    floor (13821.5)     		tx = 13821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132499694824219 × 216)
    floor (0.132499694824219 × 65536)
    floor (8683.5)     		ty = 8683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13821 / 8683 ti = "16/13821/8683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13821/8683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13821 ÷ 216
    13821 ÷ 65536     		x = 0.210891723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8683 ÷ 216
    8683 ÷ 65536     		y = 0.132492065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.210891723632812 × 2 - 1) × π
    -0.578216552734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.81652087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132492065429688 × 2 - 1) × π
    0.735015869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30912045469811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81652087} λ = -1.81652087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30912045469811))-π/2
    2×atan(10.0655676377839)-π/2
    2×1.47177267152403-π/2
    2.94354534304807-1.57079632675     		φ = 1.37274902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81652087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.078979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37274902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.652725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13821 KachelY 8683 -1.81652087 1.37274902 -104.078979 78.652725
    Oben rechts KachelX + 1 13822 KachelY 8683 -1.81642500 1.37274902 -104.073486 78.652725
    Unten links KachelX 13821 KachelY + 1 8684 -1.81652087 1.37273015 -104.078979 78.651644
    Unten rechts KachelX + 1 13822 KachelY + 1 8684 -1.81642500 1.37273015 -104.073486 78.651644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37274902-1.37273015) × R
    1.88700000001152e-05 × 6371000     		dl = 120.220770000734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37274902-1.37273015) × R
    1.88700000001152e-05 × 6371000     		dr = 120.220770000734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81652087--1.81642500) × cos(1.37274902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196755183900138 × 6371000     		do = 120.175660010303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81652087--1.81642500) × cos(1.37273015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1967736850066 × 6371000     		du = 120.186960259861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37274902)-sin(1.37273015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196755183900138-0.1967736850066)×R²
    abs(-1.81642500--1.81652087)×1.85011064621765e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85011064621765e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85011064621765e-05×40589641000000     		ar = 14448.2896448119m²