Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13820 / 8708
↖ ↑ ↗
← N 78.625673°
W104.084473°		 ← 120.47 m → N 78.625673°
W104.078979°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
N 78.624590°
W104.084473°		 ← 120.48 m →
14 514 m²		 N 78.624590°
W104.078979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210884094238281 y=0.132881164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210884094238281 × 216)
    floor (0.210884094238281 × 65536)
    floor (13820.5)     		tx = 13820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132881164550781 × 216)
    floor (0.132881164550781 × 65536)
    floor (8708.5)     		ty = 8708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13820 / 8708 ti = "16/13820/8708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13820/8708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13820 ÷ 216
    13820 ÷ 65536     		x = 0.21087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8708 ÷ 216
    8708 ÷ 65536     		y = 0.13287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21087646484375 × 2 - 1) × π
    -0.5782470703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.81661675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13287353515625 × 2 - 1) × π
    0.7342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3067236097171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81661675} λ = -1.81661675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3067236097171))-π/2
    2×atan(10.0414709220924)-π/2
    2×1.47153659841444-π/2
    2.94307319682888-1.57079632675     		φ = 1.37227687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81661675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.084473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37227687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.625673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13820 KachelY 8708 -1.81661675 1.37227687 -104.084473 78.625673
    Oben rechts KachelX + 1 13821 KachelY 8708 -1.81652087 1.37227687 -104.078979 78.625673
    Unten links KachelX 13820 KachelY + 1 8709 -1.81661675 1.37225796 -104.084473 78.624590
    Unten rechts KachelX + 1 13821 KachelY + 1 8709 -1.81652087 1.37225796 -104.078979 78.624590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37227687-1.37225796) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37227687-1.37225796) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81661675--1.81652087) × cos(1.37227687) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.197218082670442 × 6371000     		do = 120.470957681923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81661675--1.81652087) × cos(1.37225796) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.197236621236011 × 6371000     		du = 120.482281992138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37227687)-sin(1.37225796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197218082670442-0.197236621236011)×R²
    abs(-1.81652087--1.81661675)×1.85385655697701e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.85385655697701e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.85385655697701e-05×40589641000000     		ar = 14514.4942661022m²