Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13820 / 4604
↖ ↑ ↗
← N 82.311832°
W104.084473°		 ← 81.72 m → N 82.311832°
W104.078979°		 →
↑
81.68 m
↓
↑
81.68 m
↓
N 82.311098°
W104.084473°		 ← 81.73 m →
6 675 m²		 N 82.311098°
W104.078979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210884094238281 y=0.0702590942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210884094238281 × 216)
    floor (0.210884094238281 × 65536)
    floor (13820.5)     		tx = 13820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0702590942382812 × 216)
    floor (0.0702590942382812 × 65536)
    floor (4604.5)     		ty = 4604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13820 / 4604 ti = "16/13820/4604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13820/4604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13820 ÷ 216
    13820 ÷ 65536     		x = 0.21087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4604 ÷ 216
    4604 ÷ 65536     		y = 0.07025146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21087646484375 × 2 - 1) × π
    -0.5782470703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.81661675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07025146484375 × 2 - 1) × π
    0.8594970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.70018968179852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81661675} λ = -1.81661675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70018968179852))-π/2
    2×atan(14.8825544068452)-π/2
    2×1.50370440961039-π/2
    3.00740881922078-1.57079632675     		φ = 1.43661249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81661675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.084473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43661249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.311832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13820 KachelY 4604 -1.81661675 1.43661249 -104.084473 82.311832
    Oben rechts KachelX + 1 13821 KachelY 4604 -1.81652087 1.43661249 -104.078979 82.311832
    Unten links KachelX 13820 KachelY + 1 4605 -1.81661675 1.43659967 -104.084473 82.311098
    Unten rechts KachelX + 1 13821 KachelY + 1 4605 -1.81652087 1.43659967 -104.078979 82.311098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43661249-1.43659967) × R
    1.28199999998024e-05 × 6371000     		dl = 81.6762199987413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43661249-1.43659967) × R
    1.28199999998024e-05 × 6371000     		dr = 81.6762199987413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81661675--1.81652087) × cos(1.43661249) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133781529063911 × 6371000     		do = 81.7206450252995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81661675--1.81652087) × cos(1.43659967) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133794233811999 × 6371000     		du = 81.7284057394719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43661249)-sin(1.43659967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133781529063911-0.133794233811999)×R²
    abs(-1.81652087--1.81661675)×1.27047480876774e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.27047480876774e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.27047480876774e-05×40589641000000     		ar = 6674.95031423327m²