Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13820 / 4187
↖ ↑ ↗
← N 78.981889°
W 28.168945°		 ← 233.48 m → N 78.981889°
W 28.157959°		 →
↑
233.50 m
↓
↑
233.50 m
↓
N 78.979790°
W 28.168945°		 ← 233.52 m →
54 522 m²		 N 78.979790°
W 28.157959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421768188476562 y=0.127792358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421768188476562 × 215)
    floor (0.421768188476562 × 32768)
    floor (13820.5)     		tx = 13820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127792358398438 × 215)
    floor (0.127792358398438 × 32768)
    floor (4187.5)     		ty = 4187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13820 / 4187 ti = "15/13820/4187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13820/4187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13820 ÷ 215
    13820 ÷ 32768     		x = 0.4217529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4187 ÷ 215
    4187 ÷ 32768     		y = 0.127777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4217529296875 × 2 - 1) × π
    -0.156494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49164084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127777099609375 × 2 - 1) × π
    0.74444580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3387454586633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49164084} λ = -0.49164084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3387454586633))-π/2
    2×atan(10.3682210383016)-π/2
    2×1.47464517281959-π/2
    2.94929034563919-1.57079632675     		φ = 1.37849402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49164084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.168945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37849402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.981889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13820 KachelY 4187 -0.49164084 1.37849402 -28.168945 78.981889
    Oben rechts KachelX + 1 13821 KachelY 4187 -0.49144909 1.37849402 -28.157959 78.981889
    Unten links KachelX 13820 KachelY + 1 4188 -0.49164084 1.37845737 -28.168945 78.979790
    Unten rechts KachelX + 1 13821 KachelY + 1 4188 -0.49144909 1.37845737 -28.157959 78.979790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37849402-1.37845737) × R
    3.66499999999714e-05 × 6371000     		dl = 233.497149999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37849402-1.37845737) × R
    3.66499999999714e-05 × 6371000     		dr = 233.497149999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49164084--0.49144909) × cos(1.37849402) × R
    0.000191750000000046 × 0.191119267468217 × 6371000     		do = 233.478798570478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49164084--0.49144909) × cos(1.37845737) × R
    0.000191750000000046 × 0.191155241763869 × 6371000     		du = 233.522746182037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37849402)-sin(1.37845737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191119267468217-0.191155241763869)×R²
    abs(-0.49144909--0.49164084)×3.59742956519971e-05×R²
    0.000191750000000046×3.59742956519971e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.59742956519971e-05×40589641000000     		ar = 54521.7648785514m²