Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1382 / 877
↖ ↑ ↗
← N 80.320119°
W119.267578°		 ← 821.63 m → N 80.320119°
W119.223633°		 →
↑
821.92 m
↓
↑
821.92 m
↓
N 80.312728°
W119.267578°		 ← 822.25 m →
675 572 m²		 N 80.312728°
W119.223633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16876220703125 y=0.10711669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16876220703125 × 213)
    floor (0.16876220703125 × 8192)
    floor (1382.5)     		tx = 1382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10711669921875 × 213)
    floor (0.10711669921875 × 8192)
    floor (877.5)     		ty = 877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1382 / 877 ti = "13/1382/877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1382/877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1382 ÷ 213
    1382 ÷ 8192     		x = 0.168701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 877 ÷ 213
    877 ÷ 8192     		y = 0.1070556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.66259765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.08161193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1070556640625 × 2 - 1) × π
    0.785888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46894207803137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08161193} λ = -2.08161193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46894207803137))-π/2
    2×atan(11.8099462389014)-π/2
    2×1.48632343495792-π/2
    2.97264686991584-1.57079632675     		φ = 1.40185054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08161193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40185054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.320119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1382 KachelY 877 -2.08161193 1.40185054 -119.267578 80.320119
    Oben rechts KachelX + 1 1383 KachelY 877 -2.08084494 1.40185054 -119.223633 80.320119
    Unten links KachelX 1382 KachelY + 1 878 -2.08161193 1.40172153 -119.267578 80.312728
    Unten rechts KachelX + 1 1383 KachelY + 1 878 -2.08084494 1.40172153 -119.223633 80.312728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40185054-1.40172153) × R
    0.000129009999999985 × 6371000     		dl = 821.922709999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40185054-1.40172153) × R
    0.000129009999999985 × 6371000     		dr = 821.922709999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08161193--2.08084494) × cos(1.40185054) × R
    0.000766990000000245 × 0.168143238771723 × 6371000     		do = 821.630808017154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08161193--2.08084494) × cos(1.40172153) × R
    0.000766990000000245 × 0.168270410601721 × 6371000     		du = 822.252232311116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40185054)-sin(1.40172153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168143238771723-0.168270410601721)×R²
    abs(-2.08084494--2.08161193)×0.000127171829997941×R²
    0.000766990000000245×0.000127171829997941×6371000²
    0.000766990000000245×0.000127171829997941×40589641000000     		ar = 675572.402652266m²