Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13819 / 4188
↖ ↑ ↗
← N 78.979790°
W 28.179932°		 ← 233.52 m → N 78.979790°
W 28.168945°		 →
↑
233.56 m
↓
↑
233.56 m
↓
N 78.977689°
W 28.179932°		 ← 233.57 m →
54 547 m²		 N 78.977689°
W 28.168945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421737670898438 y=0.127822875976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421737670898438 × 215)
    floor (0.421737670898438 × 32768)
    floor (13819.5)     		tx = 13819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127822875976562 × 215)
    floor (0.127822875976562 × 32768)
    floor (4188.5)     		ty = 4188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13819 / 4188 ti = "15/13819/4188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13819/4188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13819 ÷ 215
    13819 ÷ 32768     		x = 0.421722412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4188 ÷ 215
    4188 ÷ 32768     		y = 0.1278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.15655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49183259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1278076171875 × 2 - 1) × π
    0.744384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33855371106482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49183259} λ = -0.49183259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33855371106482))-π/2
    2×atan(10.3662331474097)-π/2
    2×1.47462684776476-π/2
    2.94925369552951-1.57079632675     		φ = 1.37845737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49183259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.179932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37845737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.979790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13819 KachelY 4188 -0.49183259 1.37845737 -28.179932 78.979790
    Oben rechts KachelX + 1 13820 KachelY 4188 -0.49164084 1.37845737 -28.168945 78.979790
    Unten links KachelX 13819 KachelY + 1 4189 -0.49183259 1.37842071 -28.179932 78.977689
    Unten rechts KachelX + 1 13820 KachelY + 1 4189 -0.49164084 1.37842071 -28.168945 78.977689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37845737-1.37842071) × R
    3.66599999999107e-05 × 6371000     		dl = 233.560859999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37845737-1.37842071) × R
    3.66599999999107e-05 × 6371000     		dr = 233.560859999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49183259--0.49164084) × cos(1.37845737) × R
    0.000191749999999991 × 0.191155241763869 × 6371000     		do = 233.52274618197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49183259--0.49164084) × cos(1.37842071) × R
    0.000191749999999991 × 0.191191225618285 × 6371000     		du = 233.56670547089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37845737)-sin(1.37842071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191155241763869-0.191191225618285)×R²
    abs(-0.49164084--0.49183259)×3.59838544159996e-05×R²
    0.000191749999999991×3.59838544159996e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.59838544159996e-05×40589641000000     		ar = 54546.9070182472m²