Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13818 / 4197
↖ ↑ ↗
← N 78.960873°
W 28.190918°		 ← 233.92 m → N 78.960873°
W 28.179932°		 →
↑
233.94 m
↓
↑
233.94 m
↓
N 78.958769°
W 28.190918°		 ← 233.96 m →
54 729 m²		 N 78.958769°
W 28.179932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421707153320312 y=0.128097534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421707153320312 × 215)
    floor (0.421707153320312 × 32768)
    floor (13818.5)     		tx = 13818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128097534179688 × 215)
    floor (0.128097534179688 × 32768)
    floor (4197.5)     		ty = 4197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13818 / 4197 ti = "15/13818/4197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13818/4197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13818 ÷ 215
    13818 ÷ 32768     		x = 0.42169189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4197 ÷ 215
    4197 ÷ 32768     		y = 0.128082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42169189453125 × 2 - 1) × π
    -0.1566162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49202434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128082275390625 × 2 - 1) × π
    0.74383544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3368279826785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49202434} λ = -0.49202434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3368279826785))-π/2
    2×atan(10.3483592717712)-π/2
    2×1.47446176697706-π/2
    2.94892353395412-1.57079632675     		φ = 1.37812721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49202434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.190918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37812721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.960873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13818 KachelY 4197 -0.49202434 1.37812721 -28.190918 78.960873
    Oben rechts KachelX + 1 13819 KachelY 4197 -0.49183259 1.37812721 -28.179932 78.960873
    Unten links KachelX 13818 KachelY + 1 4198 -0.49202434 1.37809049 -28.190918 78.958769
    Unten rechts KachelX + 1 13819 KachelY + 1 4198 -0.49183259 1.37809049 -28.179932 78.958769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37812721-1.37809049) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dl = 233.943119999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37812721-1.37809049) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dr = 233.943119999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49202434--0.49183259) × cos(1.37812721) × R
    0.000191749999999991 × 0.191479303128528 × 6371000     		do = 233.918632264447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49202434--0.49183259) × cos(1.37809049) × R
    0.000191749999999991 × 0.191515343556464 × 6371000     		du = 233.962660665799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37812721)-sin(1.37809049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191479303128528-0.191515343556464)×R²
    abs(-0.49183259--0.49202434)×3.60404279355353e-05×R²
    0.000191749999999991×3.60404279355353e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.60404279355353e-05×40589641000000     		ar = 54728.8047357252m²