Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13817 / 4199
↖ ↑ ↗
← N 78.956664°
W 28.201905°		 ← 234.01 m → N 78.956664°
W 28.190918°		 →
↑
234.01 m
↓
↑
234.01 m
↓
N 78.954560°
W 28.201905°		 ← 234.05 m →
54 764 m²		 N 78.954560°
W 28.190918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421676635742188 y=0.128158569335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421676635742188 × 215)
    floor (0.421676635742188 × 32768)
    floor (13817.5)     		tx = 13817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128158569335938 × 215)
    floor (0.128158569335938 × 32768)
    floor (4199.5)     		ty = 4199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13817 / 4199 ti = "15/13817/4199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13817/4199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13817 ÷ 215
    13817 ÷ 32768     		x = 0.421661376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4199 ÷ 215
    4199 ÷ 32768     		y = 0.128143310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421661376953125 × 2 - 1) × π
    -0.15667724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49221609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128143310546875 × 2 - 1) × π
    0.74371337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33644448748154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49221609} λ = -0.49221609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33644448748154))-π/2
    2×atan(10.344391486556)-π/2
    2×1.47442504436928-π/2
    2.94885008873855-1.57079632675     		φ = 1.37805376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49221609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.201905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37805376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.956664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13817 KachelY 4199 -0.49221609 1.37805376 -28.201905 78.956664
    Oben rechts KachelX + 1 13818 KachelY 4199 -0.49202434 1.37805376 -28.190918 78.956664
    Unten links KachelX 13817 KachelY + 1 4200 -0.49221609 1.37801703 -28.201905 78.954560
    Unten rechts KachelX + 1 13818 KachelY + 1 4200 -0.49202434 1.37801703 -28.190918 78.954560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37805376-1.37801703) × R
    3.67299999999293e-05 × 6371000     		dl = 234.00682999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37805376-1.37801703) × R
    3.67299999999293e-05 × 6371000     		dr = 234.00682999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49221609--0.49202434) × cos(1.37805376) × R
    0.000191749999999991 × 0.191551393540994 × 6371000     		do = 234.006700741863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49221609--0.49202434) × cos(1.37801703) × R
    0.000191749999999991 × 0.191587443267103 × 6371000     		du = 234.05074050223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37805376)-sin(1.37801703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191551393540994-0.191587443267103)×R²
    abs(-0.49202434--0.49221609)×3.60497261093773e-05×R²
    0.000191749999999991×3.60497261093773e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.60497261093773e-05×40589641000000     		ar = 54764.3190477344m²