Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13816 / 4200
↖ ↑ ↗
← N 78.954560°
W 28.212890°		 ← 234.04 m → N 78.954560°
W 28.201905°		 →
↑
234.07 m
↓
↑
234.07 m
↓
N 78.952455°
W 28.212890°		 ← 234.08 m →
54 787 m²		 N 78.952455°
W 28.201905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421646118164062 y=0.128189086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421646118164062 × 215)
    floor (0.421646118164062 × 32768)
    floor (13816.5)     		tx = 13816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128189086914062 × 215)
    floor (0.128189086914062 × 32768)
    floor (4200.5)     		ty = 4200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13816 / 4200 ti = "15/13816/4200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13816/4200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13816 ÷ 215
    13816 ÷ 32768     		x = 0.421630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4200 ÷ 215
    4200 ÷ 32768     		y = 0.128173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421630859375 × 2 - 1) × π
    -0.15673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49240783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128173828125 × 2 - 1) × π
    0.74365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33625273988306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49240783} λ = -0.49240783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33625273988306))-π/2
    2×atan(10.3424081644854)-π/2
    2×1.47440667788141-π/2
    2.94881335576282-1.57079632675     		φ = 1.37801703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49240783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.212890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37801703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.954560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13816 KachelY 4200 -0.49240783 1.37801703 -28.212890 78.954560
    Oben rechts KachelX + 1 13817 KachelY 4200 -0.49221609 1.37801703 -28.201905 78.954560
    Unten links KachelX 13816 KachelY + 1 4201 -0.49240783 1.37798029 -28.212890 78.952455
    Unten rechts KachelX + 1 13817 KachelY + 1 4201 -0.49221609 1.37798029 -28.201905 78.952455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37801703-1.37798029) × R
    3.67400000000906e-05 × 6371000     		dl = 234.070540000577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37801703-1.37798029) × R
    3.67400000000906e-05 × 6371000     		dr = 234.070540000577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49240783--0.49221609) × cos(1.37801703) × R
    0.000191739999999996 × 0.191587443267103 × 6371000     		do = 234.038534466226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49240783--0.49221609) × cos(1.37798029) × R
    0.000191739999999996 × 0.191623502549429 × 6371000     		du = 234.082583603505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37801703)-sin(1.37798029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191587443267103-0.191623502549429)×R²
    abs(-0.49221609--0.49240783)×3.60592823253625e-05×R²
    0.000191739999999996×3.60592823253625e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.60592823253625e-05×40589641000000     		ar = 54786.6814528442m²