Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13816 / 11766
↖ ↑ ↗
← N 74.790261°
W104.106445°		 ← 160.24 m → N 74.790261°
W104.100952°		 →
↑
160.29 m
↓
↑
160.29 m
↓
N 74.788820°
W104.106445°		 ← 160.26 m →
25 687 m²		 N 74.788820°
W104.100952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210823059082031 y=0.179542541503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210823059082031 × 216)
    floor (0.210823059082031 × 65536)
    floor (13816.5)     		tx = 13816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179542541503906 × 216)
    floor (0.179542541503906 × 65536)
    floor (11766.5)     		ty = 11766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13816 / 11766 ti = "16/13816/11766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13816/11766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13816 ÷ 216
    13816 ÷ 65536     		x = 0.2108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11766 ÷ 216
    11766 ÷ 65536     		y = 0.179534912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.81700024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179534912109375 × 2 - 1) × π
    0.64093017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.01354153164084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81700024} λ = -1.81700024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01354153164084))-π/2
    2×atan(7.48979578128083)-π/2
    2×1.43806631628265-π/2
    2.8761326325653-1.57079632675     		φ = 1.30533631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81700024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.106445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30533631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.790261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13816 KachelY 11766 -1.81700024 1.30533631 -104.106445 74.790261
    Oben rechts KachelX + 1 13817 KachelY 11766 -1.81690437 1.30533631 -104.100952 74.790261
    Unten links KachelX 13816 KachelY + 1 11767 -1.81700024 1.30531115 -104.106445 74.788820
    Unten rechts KachelX + 1 13817 KachelY + 1 11767 -1.81690437 1.30531115 -104.100952 74.788820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30533631-1.30531115) × R
    2.51599999998575e-05 × 6371000     		dl = 160.294359999092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30533631-1.30531115) × R
    2.51599999998575e-05 × 6371000     		dr = 160.294359999092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81700024--1.81690437) × cos(1.30533631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.262353199180877 × 6371000     		do = 160.24212548005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81700024--1.81690437) × cos(1.30531115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.262377477791246 × 6371000     		du = 160.256954558336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30533631)-sin(1.30531115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262353199180877-0.262377477791246)×R²
    abs(-1.81690437--1.81700024)×2.42786103684667e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.42786103684667e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.42786103684667e-05×40589641000000     		ar = 25687.0974589484m²