Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13815 / 11770
↖ ↑ ↗
← N 74.784496°
W104.111939°		 ← 160.32 m → N 74.784496°
W104.106445°		 →
↑
160.36 m
↓
↑
160.36 m
↓
N 74.783054°
W104.111939°		 ← 160.33 m →
25 709 m²		 N 74.783054°
W104.106445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210807800292969 y=0.179603576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210807800292969 × 216)
    floor (0.210807800292969 × 65536)
    floor (13815.5)     		tx = 13815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179603576660156 × 216)
    floor (0.179603576660156 × 65536)
    floor (11770.5)     		ty = 11770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13815 / 11770 ti = "16/13815/11770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13815/11770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13815 ÷ 216
    13815 ÷ 65536     		x = 0.210800170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11770 ÷ 216
    11770 ÷ 65536     		y = 0.179595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.210800170898438 × 2 - 1) × π
    -0.578399658203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.81709612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179595947265625 × 2 - 1) × π
    0.64080810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.01315803644388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81709612} λ = -1.81709612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01315803644388))-π/2
    2×atan(7.48692403125886)-π/2
    2×1.43801600137681-π/2
    2.87603200275362-1.57079632675     		φ = 1.30523568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81709612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.111939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30523568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.784496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13815 KachelY 11770 -1.81709612 1.30523568 -104.111939 74.784496
    Oben rechts KachelX + 1 13816 KachelY 11770 -1.81700024 1.30523568 -104.106445 74.784496
    Unten links KachelX 13815 KachelY + 1 11771 -1.81709612 1.30521051 -104.111939 74.783054
    Unten rechts KachelX + 1 13816 KachelY + 1 11771 -1.81700024 1.30521051 -104.106445 74.783054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30523568-1.30521051) × R
    2.51700000000188e-05 × 6371000     		dl = 160.35807000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30523568-1.30521051) × R
    2.51700000000188e-05 × 6371000     		dr = 160.35807000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81709612--1.81700024) × cos(1.30523568) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.262450302976285 × 6371000     		do = 160.318155999407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81709612--1.81700024) × cos(1.30521051) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.26247459057165 × 6371000     		du = 160.332992112981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30523568)-sin(1.30521051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262450302976285-0.26247459057165)×R²
    abs(-1.81700024--1.81709612)×2.42875953648802e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.42875953648802e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.42875953648802e-05×40589641000000     		ar = 25709.4996286561m²